द्विपद कारकों की परिभाषा

बहुपद अक्सर छोटे बहुपद कारकों के उत्पाद होते हैं। द्विपद कारक बहुपद कारक हैं जिनके ठीक दो शब्द हैं। द्विपद कारक दिलचस्प होते हैं क्योंकि द्विपद को हल करना आसान होता है, और द्विपद कारकों की जड़ें बहुपद की जड़ों के समान होती हैं। एक बहुपद का गुणनखंडन करना इसकी जड़ों को खोजने का पहला कदम है।

एक बहुपद का आलेखन उसके गुणनखंडों को ज्ञात करने की दिशा में एक अच्छा पहला कदम है। वे बिंदु जहाँ आलेखित वक्र X अक्ष को काटता है, बहुपद के मूल हैं। यदि वक्र अक्ष को बिंदु p पर काटता है, तो p बहुपद का मूल है और X-p बहुपद का एक गुणनखंड है। आपको ग्राफ से प्राप्त होने वाले कारकों की जांच करनी चाहिए क्योंकि ग्राफ से पढ़ने में गलती करना आसान है। एक ग्राफ पर कई जड़ों को याद करना भी आसान है।

बहुपद के लिए उम्मीदवार द्विपद गुणनखंड बहुपद में पहली और अंतिम संख्याओं के गुणनखंडों के संयोजन से बने होते हैं। उदाहरण के लिए 3X^2 - 18X - 15 की पहली संख्या 3 है, जिसमें कारक 1 और 3 हैं, और इसकी अंतिम संख्या 15 है, जिसमें कारक 1, 3, 5 और 15 हैं। उम्मीदवार कारक हैं एक्स - 1, एक्स + 1, एक्स - 3, एक्स + 3, एक्स - 5, एक्स + 5, एक्स - 15, एक्स + 15, 3 एक्स - 1, 3 एक्स + 1, 3 एक्स - 3, 3 एक्स + 3, 3X - 5, 3X + 5, 3X - 15 और 3X + 15।

प्रत्येक उम्मीदवार कारकों को आजमाते हुए, हम पाते हैं कि 3X + 3 और X - 5 3X^2 - 18X - 15 को बिना किसी शेष के विभाजित करते हैं। तो 3X^2 - 18X - 15 = (3X + 3)(X - 5)। ध्यान दें कि 3X + 3 एक ऐसा कारक है जिसे हम केवल ग्राफ़ पर निर्भर करते तो चूक जाते। वक्र X अक्ष को -1 पर पार करेगा, यह दर्शाता है कि X - 1 एक कारक है। बेशक, यह वास्तव में इसलिए है क्योंकि 3X^2 - 18X - 15 = 3(X + 1)(X - 5)।

एक बार जब आपके पास द्विपद कारक हो जाते हैं, तो बहुपद की जड़ों को खोजना आसान होता है - बहुपद की जड़ें द्विपद की जड़ों के समान होती हैं। उदाहरण के लिए, 3X^2 - 18X - 15 = 0 के मूल स्पष्ट नहीं हैं, लेकिन यदि आप जानते हैं कि 3X^2 - 18X - 15 = (3X + 3)(X - 5), तो 3X + 3 का मूल = 0 X = -1 है और X - 5 = 0 का मूल X = 5 है।