गणित में फैक्टरिंग क्या है?

यदि आप गुणा और भाग की मूल बातें जानते हैं, तो आप पहले से ही उन सभी कौशलों को जानते हैं जिनकी आपको आवश्यकता है। किसी संख्या के गुणनखंड केवल वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें उस संख्या को बनाने के लिए गुणा किया जा सकता है। आप किसी संख्या को बार-बार भाग देकर उसका गुणनखंड भी कर सकते हैं। हालांकि बड़ी संख्या में फ़ैक्टर करना पहली बार में मुश्किल लग सकता है, ऐसे कई सरल तरकीबें हैं जिनसे आप किसी संख्या के कारकों को जल्दी से खोजना सीख सकते हैं।

आप उस संख्या को बनाने के लिए एक साथ गुणा करने वाले सभी पदों को ढूंढकर किसी संख्या के गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 14 के गुणनखंड 1, 2, 7, और 14 हैं, क्योंकि,

14 = 1 x 14 14 = 2 x 7

किसी संख्या को पूर्णतः गुणनखंड करने के लिए, उसे उसके गुणनखंडों तक घटा दें जो अभाज्य संख्याएँ हैं। इन्हें संख्या के "प्रमुख कारक" कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 6 और 8 48 के गुणनखंड हैं, क्योंकि,

6 x 8 = 48.

लेकिन 6 और 8 अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, क्योंकि उनके पास 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड हैं। 48 को उसके अभाज्य गुणनखंडों तक पूरी तरह से कम करने के लिए, आपको 6 और 8 को भी गुणनखंड करना होगा।

2 x 3 = 6 2 x 2 x 2 = 8

तो 48 के अभाज्य गुणनखंड हैं,

3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48

बड़ी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की आसानी से कल्पना करने के लिए आप एक फैक्टरिंग ट्री का उपयोग कर सकते हैं। जिस संख्या का आप गुणनखंड करना चाहते हैं, उसे व्यंजक के शीर्ष पर रखें, और उसे उसके गुणनखंडों द्वारा चरणों में विभाजित करें। हर बार जब आप किसी संख्या को विभाजित करते हैं, तो संख्या के दो गुणनखंड नीचे रखें। तब तक विभाजित करना जारी रखें जब तक कि सभी संख्याएँ उनके अभाज्य गुणनखंडों तक कम न हो जाएँ। उदाहरण के लिए, आप एक कारक ट्री का उपयोग करके 156 का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:

2 78 / \ 2 39 / \ 3 13

अब आप आसानी से 156 के अभाज्य गुणनखंड देख सकते हैं:

2 x 2 x 3 x 13 = 156

आप फ़ैक्टर ट्री बनाने के लिए मिश्रित (या गैर-प्राइम) कारकों से विभाजित भी कर सकते हैं। जब आप एक मिश्रित कारक से विभाजित करते हैं, तो आप समग्र कारक को उसके प्रमुख कारकों में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, आप निम्न प्रकार से समग्र या अभाज्य कारकों का उपयोग करके 192 का गुणनखंड कर सकते हैं:

4 2 2 12 3 32 / \ / \ / \ 2 2 3 4 2 16 / \ / \ 2 4 2 8 / \ 2 4 / \ 2 2

अतः 192 के अभाज्य गुणनखंड हैं,

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 192

वेरिएबल एक्सप्रेशन -- हाँ, जिनमें अक्षर होते हैं -- के भी फ़ैक्टर होते हैं. यदि एक चर को एक स्थिरांक (परिभाषित संख्या) से गुणा किया जाता है, तो चर व्यंजक के कारकों में से एक है। उदाहरण के लिए,

4y = 2 x 2 x y

आप व्यंजकों के लिए ऐसे गुणनखंड ढूंढ सकते हैं जिनमें चर और अचर दोनों शामिल हों। उदाहरण के लिए, आप व्यंजक 6y - 21 को 3 से गुणा कर सकते हैं, क्योंकि 6 और 21 दोनों तीन से विभाज्य हैं। यह आपको छोड़ देता है,

6y - 21 = 3(2y - 7)

एक बार जब आप फैक्टरिंग की मूल बातें समझ लेते हैं, तो आपको एक समस्या दी जा सकती है जो आपको खोजने के लिए कहती है सबसे बड़ा साझा कारक दो संख्याओं या भावों का। आप दोनों संख्याओं के गुणनखंडों की सूची बनाकर सबसे बड़ा समापवर्तक ज्ञात कर सकते हैं। सबसे बड़ा सामान्य कारक दोनों सूचियों में दिखाई देने वाली सबसे बड़ी संख्या है।

उदाहरण के लिए,

48 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 और 48 हैं। 56 के गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 और 56 हैं।

यदि आप कारकों के दो सेट की तुलना करते हैं, तो दोनों सेटों में सबसे बड़ी संख्या 8 है। तो सबसे बड़ा सामान्य कारक 8 है।

आप दो चर अभिव्यक्तियों का सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजने के लिए कारक सूचियों का भी उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए कि आपको निम्नलिखित भाव दिए गए हैं:

8y 14y^2 - 6y

सबसे पहले, प्रत्येक व्यंजक के सभी गुणनखंड ज्ञात कीजिए। याद रखें कि आप एक व्यंजक के गुणनखंडों में चर शामिल कर सकते हैं।

8y के गुणनखंड 1, y, 2, 2y, 4, 4y, 8, और 8y हैं 14y^2 - 6y के गुणनखंड 1, y, 2, 2y, 7y - 3, 7y^2 - 3y, 14y - 6, और 14y^2 - 6y

अतः दोनों व्यंजकों का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 2y है। ध्यान दें कि 2 सबसे बड़ा सामान्य कारक नहीं है, क्योंकि 2 (4y और 7y^2 - 3y) से विभाजित व्यंजकों को अभी भी y से विभाजित किया जा सकता है।