बीजगणित समीकरणों के प्रकार

पांच मुख्य प्रकार के बीजीय समीकरण हैं, जो चर की स्थिति, उपयोग किए गए ऑपरेटरों और कार्यों के प्रकार और उनके ग्राफ़ के व्यवहार से अलग हैं। प्रत्येक प्रकार के समीकरण में एक अलग अपेक्षित इनपुट होता है और एक अलग व्याख्या के साथ एक आउटपुट उत्पन्न करता है। पांच प्रकार के बीजीय समीकरणों और उनके उपयोगों के बीच अंतर और समानताएं बीजीय संक्रियाओं की विविधता और शक्ति को प्रदर्शित करती हैं।

एकपदी और बहुपद ऐसे समीकरण हैं जिनमें पूर्ण संख्या घातांक वाले चर पद होते हैं। बहुपदों को व्यंजक में पदों की संख्या द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: एकपदी में एक पद होता है, द्विपद में दो पद होते हैं, त्रिपद में तीन पद होते हैं। कोई भी व्यंजक जिसमें एक से अधिक पद हों, बहुपद कहलाता है। बहुपदों को घात द्वारा भी वर्गीकृत किया जाता है, जो व्यंजक में उच्चतम घातांक की संख्या है। एक, दो और तीन डिग्री वाले बहुपदों को क्रमशः रैखिक, द्विघात और घन बहुपद कहा जाता है। समीकरण x^2 - x - 3 को द्विघात त्रिपद कहा जाता है। द्विघात समीकरण आमतौर पर बीजगणित I और II में पाए जाते हैं; उनका ग्राफ, जिसे परवलय के रूप में जाना जाता है, हवा में प्रक्षेपित प्रक्षेप्य द्वारा अनुरेखित चाप का वर्णन करता है।

घातीय समीकरणों को बहुपदों से इस मायने में अलग किया जाता है कि उनके घातांक में परिवर्तनशील पद होते हैं। घातांकीय समीकरण का एक उदाहरण y = 3^(x - 4) + 6 है। घातीय कार्यों को घातीय वृद्धि के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि स्वतंत्र चर में सकारात्मक गुणांक और घातीय क्षय होता है यदि इसका नकारात्मक गुणांक होता है। घातीय वृद्धि समीकरणों का उपयोग आबादी और बीमारियों के प्रसार के साथ-साथ वित्तीय अवधारणाओं जैसे कि. का वर्णन करने के लिए किया जाता है चक्रवृद्धि ब्याज (चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र Pe^(rt) है, जहाँ P मूलधन है, r ब्याज दर है और t राशि है समय की)। घातीय क्षय समीकरण रेडियोधर्मी क्षय जैसी घटनाओं का वर्णन करते हैं।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन घातीय कार्यों के विपरीत हैं। समीकरण y = 2^x के लिए, प्रतिलोम फलन y = log2 x है। एक संख्या x का लघुगणक आधार b उस घातांक के बराबर है जिसे संख्या x प्राप्त करने के लिए आपको b को ऊपर उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 का लघुगणक 2 4 है क्योंकि 2 से चौथी घात 16 है। ट्रान्सेंडैंटल नंबर "ई" का उपयोग आमतौर पर लॉगरिदमिक आधार के रूप में किया जाता है; लघुगणक आधार e को अक्सर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। लॉगरिदमिक समीकरणों का उपयोग कई प्रकार के तीव्रता पैमानों में किया जाता है, जैसे भूकंप के लिए रिक्टर स्केल और ध्वनि तीव्रता के लिए डेसीबल स्केल। डेसिबल स्केल एक लॉग बेस 10 का उपयोग करता है, जिसका अर्थ है कि एक डेसिबल की वृद्धि ध्वनि की तीव्रता में दस गुना वृद्धि से मेल खाती है।

परिमेय समीकरण p (x) / q (x) के रूप के बीजीय समीकरण हैं, जहाँ p (x) और q (x) दोनों बहुपद हैं। एक परिमेय समीकरण का एक उदाहरण है (x - 4) / (x^2 - 5x + 4)। परिमेय समीकरण स्पर्शोन्मुख होने के लिए उल्लेखनीय हैं, जो y और x के मान हैं जो समीकरण के ग्राफ तक पहुंचते हैं लेकिन कभी नहीं पहुंचते हैं। एक परिमेय समीकरण का एक लंबवत स्पर्शोन्मुख एक x-मान है जो ग्राफ़ तक कभी नहीं पहुंचता है - y-मान या तो सकारात्मक या नकारात्मक अनंत तक जाता है क्योंकि x का मान स्पर्शोन्मुख तक पहुंचता है। एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी एक y-मान है जो ग्राफ़ के पास जाता है क्योंकि x सकारात्मक या नकारात्मक अनंत तक जाता है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन sin, cos, tan, sec, csc और cot होते हैं। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन एक समकोण त्रिभुज के दो पक्षों के बीच के अनुपात का वर्णन करते हैं, कोण माप को इनपुट या स्वतंत्र चर के रूप में और अनुपात को आउटपुट या आश्रित चर के रूप में लेते हैं। उदाहरण के लिए, y = sin x माप के कोण के लिए एक समकोण त्रिभुज की विपरीत भुजा और उसके कर्ण के अनुपात का वर्णन करता है। त्रिकोणमितीय कार्य इस मायने में अलग हैं कि वे आवधिक हैं, जिसका अर्थ है कि ग्राफ एक निश्चित समय के बाद दोहराता है। एक मानक साइन वेव के ग्राफ में 360 डिग्री की अवधि होती है।