द्विघात समीकरण वह होता है जिसमें एक एकल चर होता है और जिसमें चर वर्ग होता है। इस प्रकार के समीकरण के लिए मानक रूप, जो हमेशा रेखांकन करते समय एक परवलय उत्पन्न करता है, हैकुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी= 0, जहांए, खतथासीस्थिरांक हैं। समाधान खोजना उतना आसान नहीं है जितना कि एक रेखीय समीकरण के लिए है, और इसका एक कारण यह भी है कि, चुकता पद के कारण, हमेशा दो समाधान होते हैं। द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आप तीन विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं। आप उन शब्दों का गुणनखंड कर सकते हैं, जो सरल समीकरणों के साथ सबसे अच्छा काम करते हैं, या आप वर्ग को पूरा कर सकते हैं। तीसरी विधि द्विघात सूत्र का उपयोग करना है, जो प्रत्येक द्विघात समीकरण का एक सामान्यीकृत समाधान है।
द्विघात सूत्र
फॉर्म के सामान्य द्विघात समीकरण के लिएकुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी= 0, समाधान इस सूत्र द्वारा दिए गए हैं:
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}
ध्यान दें कि कोष्ठक के अंदर ± चिह्न का अर्थ है कि हमेशा दो समाधान होते हैं। समाधानों में से एक का उपयोग करता है
\frac{−b +\sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}
और दूसरा समाधान उपयोग करता है
\frac{−b -\sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}
द्विघात सूत्र का उपयोग करना
द्विघात सूत्र का उपयोग करने से पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि समीकरण मानक रूप में है। यह नहीं हो सकता है। कुछएक्स2 शब्द समीकरण के दोनों ओर हो सकते हैं, इसलिए आपको उन्हें दाईं ओर एकत्र करना होगा। सभी x पदों और अचरों के साथ भी ऐसा ही करें।
उदाहरण: समीकरण के हल खोजें
3x^2 - 12 = 2x (x -1)
कोष्ठक का विस्तार करें:
3x^2 - 12 = 2x^2 - 2x
घटाना २एक्स2 और दोनों तरफ से। 2. जोड़ेंएक्सदोनों पक्षों को
3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 2x^2 -2x^2 -2x + 2x \\ 3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 0 \\ x^2 - 2x -12 = 0
यह समीकरण मानक रूप में हैकुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी= 0 जहांए = 1, ख= -2 औरसी = 12
द्विघात सूत्र है
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}
जबसेए = 1, ख= -2 औरसी= -12, यह हो जाता है
x = \frac{-(-2) ±\sqrt{(-2)^2 − 4×1×(-12)} }{2×1}
x = \frac{2 ±\sqrt{(4+ 48} }{2} \\ \,\\ x = \frac{2 ±\sqrt{52} }{2} \\ \,\\ x = \ फ़्रैक{2 ±7.21}{2} \\ \,\\ x = \frac{9.21}{2} \text{ और } x = \frac{−5.21}{2} \\ \,\\ x = 4.605 \text{ और } x = −2.605
द्विघात समीकरणों को हल करने के दो अन्य तरीके
आप गुणनखंड द्वारा द्विघात समीकरणों को हल कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आप कमोबेश संख्याओं के एक जोड़े पर अनुमान लगाते हैं, जो एक साथ जोड़े जाने पर, स्थिरांक देते हैंखऔर, जब एक साथ गुणा किया जाता है, तो स्थिरांक देंसी. भिन्नों के शामिल होने पर यह विधि कठिन हो सकती है। और उपरोक्त उदाहरण के लिए अच्छा काम नहीं करेगा।
दूसरी विधि वर्ग को पूरा करना है। यदि आपके पास एक समीकरण मानक रूप है,कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी= 0, डालसीदाईं ओर और शब्द जोड़ें (ख/2)2 दोनों पक्षों को। यह आपको बाईं ओर के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है (एक्स + घ)2, कहां हैघएक स्थिरांक है। फिर आप दोनों पक्षों का वर्गमूल निकाल सकते हैं और हल कर सकते हैंएक्स. फिर से, उपरोक्त उदाहरण में समीकरण द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करना आसान है।