बीजगणित में अक्सर भावों को सरल बनाना शामिल होता है, लेकिन कुछ भाव दूसरों की तुलना में अधिक भ्रमित करने वाले होते हैं। सम्मिश्र संख्याओं में वह मात्रा शामिल होती है जिसे कहा जाता हैमैं, संपत्ति के साथ एक "काल्पनिक" संख्यामैं= √−1. यदि आपको केवल एक जटिल संख्या को शामिल करने वाला एक व्यंजक है, तो यह कठिन लग सकता है, लेकिन बुनियादी नियमों को सीखने के बाद यह काफी सरल प्रक्रिया है।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
सम्मिश्र संख्याओं के साथ बीजगणित के नियमों का पालन करते हुए सम्मिश्र संख्याओं को सरल कीजिए।
एक जटिल संख्या क्या है?
जटिल संख्याओं को उनके शामिल किए जाने से परिभाषित किया जाता हैमैंटर्म, जो माइनस वन का वर्गमूल है। बुनियादी स्तर के गणित में, ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल वास्तव में मौजूद नहीं होते हैं, लेकिन वे कभी-कभी बीजगणित की समस्याओं में दिखाई देते हैं। एक सम्मिश्र संख्या का सामान्य रूप उनकी संरचना को दर्शाता है:
जेड = ए + द्वि
कहा पेजेडजटिल संख्या को लेबल करता है,एकिसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है (जिसे "वास्तविक" भाग कहा जाता है), औरखएक अन्य संख्या का प्रतिनिधित्व करता है (जिसे "काल्पनिक" भाग कहा जाता है), जो दोनों सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं। तो एक उदाहरण जटिल संख्या है:
जेड = 2 −4i
चूँकि ऋणात्मक संख्याओं के सभी वर्गमूलों को के गुणजों द्वारा दर्शाया जा सकता हैमैं, यह सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए प्रपत्र है। तकनीकी रूप से, एक नियमित संख्या केवल एक जटिल संख्या के एक विशेष मामले का वर्णन करती है जहांख= 0, इसलिए सभी संख्याओं को सम्मिश्र माना जा सकता है।
जटिल संख्याओं के साथ बीजगणित के लिए बुनियादी नियम Basic
सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने और घटाने के लिए, बस वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें या घटाएँ। अतः सम्मिश्र संख्याओं के लिएजेड = 2 – 4मैंतथावू = 3 + 5मैं, योग है:
\begin{aligned} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + मैं \अंत{गठबंधन}
संख्याओं को घटाना उसी तरह काम करता है:
\begin{aligned} z-w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{aligned }
गुणा जटिल संख्याओं के साथ एक और सरल ऑपरेशन है, क्योंकि यह सामान्य गुणा की तरह काम करता है सिवाय इसके कि आपको यह याद रखना होगामैं2 = −1. तो 3. की गणना करने के लिएमैं × −4मैं:
3i × -4i = -12i^2
लेकिन जबसेमैं2= -1, तब:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
पूर्ण सम्मिश्र संख्याओं के साथ (का प्रयोग करते हुएजेड = 2 – 4मैंतथावू = 3 + 5मैंफिर से), आप उन्हें उसी तरह से गुणा करते हैं जैसे आप सामान्य संख्याओं से करते हैं जैसे (ए + ख) (सी + घ), "प्रथम, आंतरिक, बाहरी, अंतिम" (एफओआईएल) विधि का उपयोग करके, देने के लिए (ए + ख) (सी + घ) = एसी + बीसी + विज्ञापन + बीडीओ. आपको बस इतना याद रखना है कि के किसी भी उदाहरण को सरल बनाना हैमैं2. तो उदाहरण के लिए:
\begin{aligned} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{aligned}
जटिल संख्याओं को विभाजित करना
सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करने में भिन्न के अंश और हर को हर के सम्मिश्र संयुग्म से गुणा करना शामिल है। सम्मिश्र संयुग्म का अर्थ केवल उस सम्मिश्र संख्या का संस्करण है जिसमें काल्पनिक भाग चिन्ह में उलट होता है। के लिएजेड = 2 – 4मैं, जटिल संयुग्मजेड = 2 + 4मैं, और किसके लिएवू = 3 + 5मैं, वू = 3 −5मैं. समस्या के लिए:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
संयुग्म की आवश्यकता हैवू*. अंश और हर को इससे विभाजित करने के लिए:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
और फिर आप पिछले खंड की तरह काम करते हैं। अंश देता है:
\शुरू {गठबंधन} (2 -4i) (3 -5i) और = 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{संरेखित}
और हर देता है:
\शुरू {गठबंधन} (3 + 5i) (3-5i) और = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ और = 9 + 25 \\ और = 34 \ अंत {गठबंधन}
इसका मतलब है की:
\शुरू करें{गठबंधन} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{aligned}
जटिल संख्याओं का सरलीकरण
जटिल व्यंजकों को सरल बनाने के लिए आवश्यकतानुसार उपरोक्त नियमों का प्रयोग करें। उदाहरण के लिए:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
इसे अंश में जोड़ नियम, हर में गुणन नियम का उपयोग करके और फिर भाग को पूरा करके सरल बनाया जा सकता है। अंश के लिए:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
हर के लिए:
\शुरू {गठबंधन} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{aligned}
इन्हें वापस रखने से यह मिलता है:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
हर के संयुग्म द्वारा दोनों भागों को गुणा करने पर होता है:
\begin{aligned} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ फ़्रेक{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \अंत{गठबंधन}
तो इसका मतलबजेडनिम्नानुसार सरल करता है:
\begin{aligned} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \अंत{गठबंधन}