शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी के बीच का अंतर बहुत बड़ा है। जबकि शास्त्रीय यांत्रिकी में कणों और वस्तुओं की स्पष्ट रूप से परिभाषित स्थिति होती है, क्वांटम यांत्रिकी में (माप से पहले) a कण को केवल संभावित स्थितियों की एक श्रृंखला कहा जा सकता है, जिसे तरंग द्वारा संभावनाओं के संदर्भ में वर्णित किया गया है समारोह।
श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों के तरंग कार्य को परिभाषित करता है, और इसका उपयोग और व्याख्या करना सीखना क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी पाठ्यक्रम का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इस समीकरण के समाधान के सबसे सरल उदाहरणों में से एक बॉक्स में एक कण के लिए है।
वेव फंक्शन
क्वांटम यांत्रिकी में, एक कण को a. द्वारा दर्शाया जाता हैतरंग क्रिया. यह आमतौर पर ग्रीक अक्षर साई द्वारा निरूपित किया जाता है (Ψ) और यह स्थिति और समय दोनों पर निर्भर करता है, और इसमें वह सब कुछ शामिल है जो कण के बारे में जाना जा सकता है।
इस फ़ंक्शन का मापांक वर्ग आपको इस संभावना को बताता है कि कण स्थिति में पाया जाएगाएक्ससमय परतो, बशर्ते फ़ंक्शन "सामान्यीकृत" हो। इसका मतलब सिर्फ इतना है कि इसे समायोजित किया जाना निश्चित है
कुछपदएक्सउन दिनोंतोजब प्रत्येक स्थान पर परिणामों का सारांश दिया जाता है, अर्थात सामान्यीकरण की स्थिति कहती है कि:\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
आप समय पर किसी कण की स्थिति के लिए अपेक्षित मान की गणना करने के लिए तरंग फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैंतो, जहां उम्मीद मूल्य का मतलब केवल वह औसत मूल्य है जो आपको मिलेगाएक्सयदि आपने माप को बड़ी संख्या में दोहराया है। बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि यह वह परिणाम होगा जो आपको किसी दिए गए माप के लिए मिलेगा - अर्थातप्रभावी रूप सेयादृच्छिक, हालांकि कुछ स्थानों में आमतौर पर दूसरों की तुलना में काफी अधिक संभावना होती है।
ऐसी कई अन्य मात्राएँ हैं जिनके लिए आप अपेक्षा मूल्यों की गणना कर सकते हैं, जैसे गति और ऊर्जा मान, साथ ही साथ कई अन्य "अवलोकन"।
श्रोडिंगर समीकरण
श्रोडिंगर समीकरण एक अंतर समीकरण है जिसका उपयोग तरंग फ़ंक्शन के लिए मान और कण की ऊर्जा के लिए eigenstates को खोजने के लिए किया जाता है। समीकरण ऊर्जा के संरक्षण और एक कण की गतिज और स्थितिज ऊर्जा के व्यंजकों से प्राप्त किया जा सकता है। इसे लिखने का सबसे आसान तरीका है:
एच(Ψ) =iℏ\frac{\आंशिकΨ}{\आंशिक टी}
लेकिन यहाँएचका प्रतिनिधित्व करता हैहैमिल्टनियन ऑपरेटर, जो अपने आप में काफी लंबी अभिव्यक्ति है:
एच = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
यहाँ,मद्रव्यमान है, प्लैंक का स्थिरांक 2π से विभाजित है, औरवी (एक्स) निकाय की स्थितिज ऊर्जा के लिए एक सामान्य फलन है। हैमिल्टन के दो अलग-अलग भाग हैं - पहला पद प्रणाली की गतिज ऊर्जा है और दूसरा पद स्थितिज ऊर्जा है।
क्वांटम यांत्रिकी में प्रत्येक अवलोकन योग्य मूल्य एक ऑपरेटर के साथ जुड़ा हुआ है, और श्रोडिंगर समीकरण के समय-स्वतंत्र संस्करण में, हैमिल्टनियन ऊर्जा ऑपरेटर है। हालांकि, ऊपर दिखाए गए समय-निर्भर संस्करण में, हैमिल्टनियन तरंग फ़ंक्शन का समय विकास भी उत्पन्न करता है।
समीकरण में निहित सभी सूचनाओं को मिलाकर, आप अंतरिक्ष और समय में कण के विकास का वर्णन कर सकते हैं और इसके लिए संभावित ऊर्जा मूल्यों की भी भविष्यवाणी कर सकते हैं।
समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण
समीकरण के समय-निर्भर भाग को हटाया जा सकता है - ऐसी स्थिति का वर्णन करने के लिए जो विशेष रूप से समय के साथ विकसित नहीं होती है - तरंग फ़ंक्शन को अंतरिक्ष और समय भागों में अलग करके:Ψ(एक्स, तो) = Ψ(एक्स) एफ(तो). समय-निर्भर भागों को तब समीकरण से रद्द किया जा सकता है, जो श्रोडिंगर समीकरण के समय-स्वतंत्र संस्करण को छोड़ देता है:
एच Ψ (एक्स) = ई (Ψ (एक्स))
इप्रणाली की ऊर्जा है। यह एक eigenvalue समीकरण का सटीक रूप है, के साथΨ(एक्स) आइजनफंक्शन होने के नाते, औरइeigenvalue होने के कारण, समय-स्वतंत्र समीकरण को अक्सर क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा के लिए eigenvalue समीकरण कहा जाता है। समय समारोह बस द्वारा दिया जाता है:
च (टी) = ई^{-iEt/ℏ}
समय-स्वतंत्र समीकरण उपयोगी है क्योंकि यह कई स्थितियों के लिए गणना को सरल करता है जहां समय विकास विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है। यह "एक बॉक्स में कण" समस्याओं के लिए और यहां तक कि एक परमाणु के चारों ओर इलेक्ट्रॉनों के लिए ऊर्जा के स्तर को निर्धारित करने के लिए सबसे उपयोगी रूप है।
एक बॉक्स में कण (अनंत स्क्वायर वेल)
समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के सबसे सरल समाधानों में से एक में एक कण के लिए है असीम रूप से गहरा वर्ग कुआँ (अर्थात एक अनंत क्षमता वाला कुआँ), या आधार का एक-आयामी बॉक्स लंबाईली. बेशक, ये सैद्धांतिक आदर्शीकरण हैं, लेकिन यह एक बुनियादी विचार देता है कि आप प्रकृति में मौजूद कई जटिलताओं को ध्यान में रखे बिना श्रोडिंगर समीकरण को कैसे हल करते हैं।
कुएं के बाहर संभावित ऊर्जा 0 पर सेट होने के साथ, जहां संभाव्यता घनत्व भी 0 है, इस स्थिति के लिए श्रोडिंगर समीकरण बन जाता है:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E Ψ(x)
और इस रूप के समीकरण के लिए सामान्य समाधान है:
Ψ(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
हालांकि, सीमा की स्थितियों को देखते हुए इसे कम करने में मदद मिल सकती है। के लियेएक्स= 0 औरएक्स= एल, यानी बॉक्स के किनारे या कुएं की दीवारें, तरंग फ़ंक्शन को शून्य पर जाना है। कोसाइन फ़ंक्शन का मान 1 होता है जब तर्क 0 होता है, इसलिए सीमा शर्तों को संतुष्ट करने के लिए, स्थिरांकखशून्य के बराबर होना चाहिए। यह छोड़ देता है:
(x) = ए \sin (kx)
आप के लिए मान सेट करने के लिए सीमा शर्तों का भी उपयोग कर सकते हैंक. चूँकि sin फलन मानों पर शून्य हो जाता हैनहीं, जहां क्वांटम संख्यानहीं= 0, 1, 2, 3… और इसी तरह, इसका मतलब है कि कबएक्स = ली, समीकरण तभी काम करेगा जबक = नहींπ / ली. अंत में, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि function का मान ज्ञात करने के लिए तरंग फलन को सामान्यीकृत करना होगाए(सभी संभव में एकीकृत करेंएक्समान, यानी 0 से. तकली, और फिर परिणाम को 1 के बराबर सेट करें और फिर से व्यवस्थित करें), अंतिम अभिव्यक्ति पर पहुंचने के लिए:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
मूल समीकरण और इस परिणाम का उपयोग करके, आप के लिए हल कर सकते हैंइ, कौन सी पैदावार:
ई = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
ध्यान दें कि तथ्य यह है किनहींइस अभिव्यक्ति में इसका मतलब है कि ऊर्जा का स्तर हैमात्रा निर्धारित, इसलिए वे नहीं ले सकतेकोई भीमूल्य, लेकिन कण के द्रव्यमान और बॉक्स की लंबाई के आधार पर विशिष्ट ऊर्जा स्तर के मूल्यों का केवल एक असतत सेट।
एक बॉक्स में कण (परिमित स्क्वायर वेल)
यदि संभावित कुएं की दीवार की ऊंचाई सीमित है तो वही समस्या थोड़ी अधिक जटिल हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि संभावितवी (एक्स) मान लेता हैवी0 संभावित कुएं के बाहर और इसके अंदर 0, तरंग कार्य को समस्या से आच्छादित तीन मुख्य क्षेत्रों में निर्धारित किया जा सकता है। हालांकि, यह एक अधिक सम्मिलित प्रक्रिया है, इसलिए यहां आप पूरी प्रक्रिया को चलाने के बजाय केवल परिणाम देख पाएंगे।
अगर कुआं पर हैएक्स= 0 सेएक्स = लीफिर से, उस क्षेत्र के लिए जहांएक्स<0 समाधान है:
Ψ(x) = Be^{kx}
क्षेत्र के लिएएक्स > ली, यह है:
Ψ(x) = एई^{-kx}
कहा पे
के = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
कुएं के अंदर के क्षेत्र के लिए, जहां 0 <एक्स < ली, सामान्य समाधान है:
Ψ(x) = C \sin (wx) + D\cos (wx)
कहा पे
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
फिर आप स्थिरांक के मान निर्धारित करने के लिए सीमा शर्तों का उपयोग कर सकते हैंए, ख, सीतथाघ, यह देखते हुए कि कुएं की दीवारों पर परिभाषित मान होने के साथ-साथ, तरंग फ़ंक्शन और इसका पहला व्युत्पन्न हर जगह निरंतर होना चाहिए, और तरंग फ़ंक्शन को हर जगह सीमित होना चाहिए।
अन्य मामलों में, जैसे उथले बक्से, संकीर्ण बक्से और कई अन्य विशिष्ट स्थितियों में, अनुमान और विभिन्न समाधान हैं जो आप पा सकते हैं।