कोई भी जिसने कभी पूल का खेल खेला है, वह संवेग के संरक्षण के नियम से परिचित है, चाहे वे इसे महसूस करें या नहीं।
संवेग के संरक्षण का नियम यह समझने और भविष्यवाणी करने में मौलिक है कि जब वस्तुएँ आपस में टकराती हैं या टकराती हैं तो क्या होता है। यह कानून बिलियर्ड गेंदों की गति की भविष्यवाणी करता है और यही तय करता है कि वह आठ गेंद इसे कोने की जेब में बनाती है या नहीं।
मोमेंटम क्या है?
संवेग को किसी वस्तु के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। समीकरण रूप में, इसे अक्सर. के रूप में लिखा जाता हैपी = एमवी.
यह एक सदिश राशि है, जिसका अर्थ है कि इसके साथ एक दिशा जुड़ी हुई है। किसी वस्तु के संवेग सदिश की दिशा उसके वेग सदिश के समान दिशा होती है।
एक पृथक प्रणाली की गति उस प्रणाली में प्रत्येक व्यक्तिगत वस्तु के संवेग का योग है। एक पृथक प्रणाली उन वस्तुओं से बातचीत करने की एक प्रणाली है जो किसी अन्य चीज़ के साथ किसी भी शुद्ध तरीके से बातचीत नहीं कर रही हैं। दूसरे शब्दों में, तंत्र पर कोई शुद्ध बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है।
एक पृथक प्रणाली में कुल गति का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आपको भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है कि टकराव और बातचीत के दौरान सिस्टम में वस्तुओं का क्या होगा।
संरक्षण कानून क्या हैं?
संवेग के संरक्षण के नियम को समझने से पहले, यह समझना महत्वपूर्ण है कि "संरक्षित मात्रा" का क्या अर्थ है।
किसी चीज को संरक्षित करने का अर्थ है किसी तरह से उसकी बर्बादी या नुकसान को रोकना। भौतिकी में, एक मात्रा को संरक्षित कहा जाता है यदि वह स्थिर रहती है। आपने अभिव्यक्ति सुनी होगी क्योंकि यह ऊर्जा के संरक्षण से संबंधित है, जो यह धारणा है कि ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है, बल्कि केवल रूप बदलता है। इसलिए इसकी कुल मात्रा स्थिर रहती है।
जब हम संवेग के संरक्षण की बात करते हैं, तो हम संवेग की कुल मात्रा के स्थिर रहने की बात कर रहे हैं। यह संवेग एक पृथक प्रणाली के भीतर एक वस्तु से दूसरी वस्तु में स्थानांतरित हो सकता है और तब भी संरक्षित माना जाता है यदि उस प्रणाली में कुल संवेग नहीं बदलता है।
न्यूटन का गति का दूसरा नियम और संवेग के संरक्षण का नियम
गति के संरक्षण के नियम को न्यूटन के गति के दूसरे नियम से प्राप्त किया जा सकता है। याद रखें कि यह कानून किसी वस्तु के शुद्ध बल, द्रव्यमान और त्वरण से संबंधित है:एफजाल = मा.
यहाँ चाल इस शुद्ध बल के बारे में सोचने के लिए है जो संपूर्ण रूप से एक प्रणाली पर कार्य कर रही है। संवेग संरक्षण का नियम तब लागू होता है जब निकाय पर कुल बल 0 होता है। इसका मतलब यह है कि, सिस्टम में प्रत्येक वस्तु के लिए, केवल उस पर लगाए जा सकने वाले बलों को सिस्टम के भीतर अन्य वस्तुओं से आना चाहिए, अन्यथा किसी भी तरह से रद्द कर दिया जाना चाहिए।
बाहरी बल घर्षण, गुरुत्वाकर्षण या वायु प्रतिरोध हो सकते हैं। सिस्टम पर शुद्ध बल बनाने के लिए इन्हें या तो अभिनय नहीं करने की आवश्यकता है, या इनका प्रतिकार किया जाना चाहिए।
आप व्युत्पत्ति की शुरुआत कथन से कर सकते हैंएफजाल = मा = 0.
मइस मामले में पूरे सिस्टम का द्रव्यमान है। प्रश्न में त्वरण प्रणाली का शुद्ध त्वरण है, जो त्वरण को संदर्भित करता है प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र का (द्रव्यमान का केंद्र कुल प्रणाली का औसत स्थान है द्रव्यमान।)
नेट बल 0 होने के लिए, त्वरण भी 0 होना चाहिए। चूँकि त्वरण समय के साथ वेग में परिवर्तन है, इसका तात्पर्य है कि वेग में परिवर्तन नहीं होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, वेग स्थिर है। अतः हमें यह कथन प्राप्त होता है किएमवीसे। मी= स्थिर।
कहा पेवीसे। मीद्रव्यमान के केंद्र का वेग सूत्र द्वारा दिया गया है:
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
तो अब कथन कम हो जाता है:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \पाठ{स्थिर}
यह वह समीकरण है जो संवेग के संरक्षण का वर्णन करता है। प्रत्येक पद प्रणाली में किसी एक वस्तु का संवेग है, और सभी संवेगों का योग स्थिर होना चाहिए। इसे व्यक्त करने का एक और तरीका है:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
जहां सबस्क्रिप्टमैंप्रारंभिक मूल्यों को संदर्भित करता है औरएफअंतिम मूल्यों के लिए, आमतौर पर पहले और बाद में किसी प्रकार की बातचीत के बाद, जैसे कि सिस्टम में वस्तुओं के बीच टकराव।
लोचदार और अकुशल टकराव
संवेग के संरक्षण के नियम के महत्वपूर्ण होने का कारण यह है कि यह आपको a. के लिए हल करने की अनुमति दे सकता है अज्ञात अंतिम वेग या एक अलग प्रणाली में वस्तुओं के लिए पसंद है जो प्रत्येक के साथ टकरा सकते हैं अन्य।
ऐसी टक्कर दो मुख्य तरीकों से हो सकती है: लोचदार या अनैच्छिक रूप से।
एक पूरी तरह से लोचदार टक्कर वह है जिसमें टकराने वाली वस्तुएं एक दूसरे से टकराती हैं। इस प्रकार की टक्कर गतिज ऊर्जा के संरक्षण की विशेषता है। किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा सूत्र द्वारा दी जाती है:
केई = \frac{1}{2}एमवी^2
यदि गतिज ऊर्जा संरक्षित है, तो निकाय के सभी पिंडों की गतिज ऊर्जाओं का योग किसी भी टक्कर से पहले और बाद में स्थिर रहना चाहिए। गतिज ऊर्जा के संरक्षण के साथ-साथ संवेग के संरक्षण का उपयोग करके आप एक टकराने वाले सिस्टम में एक से अधिक अंतिम या प्रारंभिक वेग के लिए हल कर सकते हैं।
एक पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर वह है जिसमें जब दो वस्तुएं टकराती हैं, तो एक दूसरे से चिपक जाती हैं और बाद में एकवचन द्रव्यमान के रूप में चलती हैं। यह एक समस्या को सरल भी कर सकता है क्योंकि आपको केवल दो के बजाय एक अंतिम वेग निर्धारित करने की आवश्यकता है।
जबकि दोनों प्रकार के टकरावों में संवेग संरक्षित होता है, गतिज ऊर्जा केवल एक लोचदार टक्कर में संरक्षित होती है। अधिकांश वास्तविक जीवन के टकराव न तो पूरी तरह से लोचदार या पूरी तरह से बेलोचदार होते हैं, बल्कि कहीं बीच में होते हैं।
कोणीय गति का संरक्षण
पिछले खंड में जो वर्णित किया गया था वह रैखिक गति का संरक्षण है। एक अन्य प्रकार का संवेग है जो घूर्णी गति पर लागू होता है जिसे कोणीय गति कहा जाता है।
जैसे रैखिक संवेग के साथ, कोणीय संवेग भी संरक्षित रहता है। कोणीय गति किसी वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करती है और साथ ही वह द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से कितनी दूर है।
जब एक फिगर स्केटर घूमता है, तो आप देखेंगे कि वे तेजी से घूमते हैं क्योंकि वे अपनी बाहों को अपने शरीर के करीब लाते हैं। इसका कारण यह है कि उनका कोणीय संवेग केवल तभी संरक्षित होता है जब उनकी घूर्णन गति उसी अनुपात में बढ़ती है जब वे अपनी भुजाओं को अपने केंद्र के करीब लाते हैं।
संवेग संरक्षण समस्याओं के उदाहरण
उदाहरण 1:समान द्रव्यमान की दो बिलियर्ड गेंदें एक दूसरे की ओर लुढ़कती हैं। एक 2 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से यात्रा कर रहा है और दूसरा 4 मीटर/सेकेंड की गति से यात्रा कर रहा है। यदि उनकी टक्कर पूरी तरह से लोचदार है, तो प्रत्येक गेंद का अंतिम वेग क्या होगा?
समाधान 1:एक समन्वय प्रणाली चुनने के लिए इस समस्या को हल करते समय यह महत्वपूर्ण है। चूंकि सब कुछ एक सीधी रेखा में हो रहा है, आप यह तय कर सकते हैं कि दाईं ओर की गति सकारात्मक है और बाईं ओर की गति ऋणात्मक है। मान लें कि पहली गेंद 2 मीटर/सेकेंड पर दाईं ओर यात्रा कर रही है। दूसरी गेंद का वेग तब -4m/s है।
टक्कर से पहले निकाय के कुल संवेग के साथ-साथ टक्कर से पहले निकाय की कुल गतिज ऊर्जा के लिए व्यंजक लिखें:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
प्रत्येक के लिए व्यंजक प्राप्त करने के लिए मानों में प्लग इन करें:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
ध्यान दें कि चूंकि आपको जनता के लिए मूल्य नहीं दिए गए थे, वे अज्ञात रहते हैं, हालांकि दोनों द्रव्यमान समान थे, जो कुछ सरलीकरण की अनुमति देता था।
टक्कर के बाद, संवेग और गतिज ऊर्जा के व्यंजक हैं:
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
प्रारंभिक मानों को प्रत्येक के अंतिम मानों के बराबर सेट करके, आप जनता को रद्द कर सकते हैं। फिर आपके पास दो समीकरणों और दो अज्ञात मात्राओं की एक प्रणाली बची है:
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \अर्थात् v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 }mv_{2f}^2 = 10m \अर्थात् v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20
सिस्टम को बीजगणितीय रूप से हल करने से निम्नलिखित समाधान मिलते हैं:
v_{if} = -4 \text{m/s} v_{2f} = 2 \text{ m/s}
आप देखेंगे कि चूंकि दोनों गेंदों का द्रव्यमान समान था, इसलिए उन्होंने अनिवार्य रूप से वेगों का आदान-प्रदान किया।
उदाहरण 2:20 मील प्रति घंटे की गति से पूर्व की ओर यात्रा करने वाली 1,200 किलोग्राम की कार पश्चिम की ओर 15 मील प्रति घंटे की गति से जा रहे 3,000 किलोग्राम के ट्रक से आमने-सामने टकराती है। टक्कर लगने पर दोनों वाहन आपस में चिपक जाते हैं। वे किस अंतिम वेग से चलते हैं?
समाधान 2:इस विशेष समस्या के बारे में ध्यान देने वाली एक बात इकाइयाँ हैं। संवेग के लिए SI मात्रक kg⋅m/s हैं। हालांकि, आपको द्रव्यमान किलो में और गति मील प्रति घंटे में दी जाती है। ध्यान दें कि जब तक सभी गति सुसंगत इकाइयों में हैं, तब तक रूपांतरण की कोई आवश्यकता नहीं है। जब आप अंतिम वेग के लिए हल करते हैं, तो आपका उत्तर मील प्रति घंटे में होगा।
प्रणाली की प्रारंभिक गति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = १२०० \बार २० - ३००० \गुना १५ = -21,000 \पाठ{ किग्रा}\बार \पाठ{mph}
सिस्टम की अंतिम गति को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
(एम_सी + एम_टी) v_f = 4200v_f
संवेग संरक्षण का नियम आपको बताता है कि ये प्रारंभिक और अंतिम मान बराबर होने चाहिए। आप अंतिम गति को अंतिम गति के बराबर निर्धारित करके अंतिम वेग के लिए हल कर सकते हैं, अंतिम वेग के लिए निम्नानुसार हल कर सकते हैं:
4200v_f = -21,000 \ का अर्थ है v_f = \ frac{-21000}{4200} = -5 \पाठ{ मील प्रति घंटे}
उदाहरण 3:दिखाएँ कि कार और ट्रक के बीच बेलोचदार टक्कर से संबंधित पिछले प्रश्न में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं थी।
समाधान 3:उस प्रणाली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा थी:
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557,500 \पाठ{ किग्रा (मील प्रति घंटा)}^2
सिस्टम की अंतिम गतिज ऊर्जा थी:
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52,500 \text{ kg (mph)}^2
चूँकि प्रारंभिक कुल गतिज ऊर्जा और कुल अंतिम गतिज ऊर्जा समान नहीं हैं, तो आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं थी।