गणित में अक्षर E के दो अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह कैपिटल E है या लोअरकेस e। आप आमतौर पर कैपिटल ई को कैलकुलेटर पर देखते हैं, जहां इसका मतलब है कि इसके बाद आने वाली संख्या को 10 की शक्ति तक बढ़ाएं। उदाहरण के लिए, 1E6 का अर्थ 1 × 10. होगा6, या 1 मिलियन। आम तौर पर, ई का उपयोग उन संख्याओं के लिए आरक्षित होता है जो कैलकुलेटर स्क्रीन पर प्रदर्शित होने के लिए बहुत लंबी होती हैं यदि उन्हें लंबे समय तक लिखा जाता है।
गणितज्ञ लोअरकेस ई का उपयोग अधिक दिलचस्प उद्देश्य के लिए करते हैं - यूलर की संख्या को दर्शाने के लिए। यह संख्या, जैसे, एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसमें एक गैर-आवर्ती दशमलव होता है जो अनंत तक फैला होता है। एक अपरिमेय व्यक्ति की तरह, एक अपरिमेय संख्या का कोई मतलब नहीं लगता है, लेकिन जो संख्या e दर्शाती है उसका उपयोगी होने का कोई मतलब नहीं है। वास्तव में, यह गणित में सबसे उपयोगी संख्याओं में से एक है।
ई वैज्ञानिक संकेतन में, और 1E6 का अर्थ
वैज्ञानिक संकेतन में किसी संख्या को व्यक्त करने के लिए E का उपयोग करने के लिए आपको कैलकुलेटर की आवश्यकता नहीं है। आप केवल E को घातांक के आधार मूल के लिए खड़ा होने दे सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब आधार 10 हो। आप आधार 8, 4 या किसी अन्य आधार के लिए ई का उपयोग नहीं करेंगे, खासकर यदि आधार यूलर की संख्या है, ई।
जब आप इस प्रकार E का प्रयोग करते हैं, तो आप संख्या लिखते हैंएक्सइआप, कहां हैएक्ससंख्या में पूर्णांकों का पहला सेट है औरआपप्रतिपादक है। उदाहरण के लिए, आप संख्या 1 मिलियन को 1E6 लिखेंगे। नियमित वैज्ञानिक संकेतन में, यह 1 × 10. है6, या 1 के बाद 6 शून्य। इसी तरह 5 मिलियन 5E6 होंगे, और 42,732 4.27E4 होंगे। वैज्ञानिक संकेतन में एक संख्या लिखते समय, चाहे आप ई का उपयोग करें या नहीं, आप आमतौर पर दो दशमलव स्थानों पर होते हैं।
यूलर की संख्या, ई, कहां से आती है?
ई द्वारा प्रस्तुत संख्या की खोज गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर ने 50 साल पहले एक अन्य गणितज्ञ जैकब बर्नौली द्वारा प्रस्तुत समस्या के समाधान के रूप में की थी। बर्नौली की समस्या आर्थिक थी।
मान लीजिए कि आप एक बैंक में $1,000 डालते हैं जो 100% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज का भुगतान करता है और इसे एक वर्ष के लिए वहीं छोड़ देता है। आपके पास 2,000 डॉलर होंगे। अब मान लीजिए कि ब्याज दर आधी है, लेकिन बैंक साल में दो बार इसका भुगतान करता है। एक साल के अंत में, आपके पास $2,250 होंगे। अब मान लीजिए बैंक ने केवल 8.33% का भुगतान किया, जो कि 100% का 1/12 है, लेकिन इसे वर्ष में 12 बार भुगतान किया। साल के अंत में, आपके पास $2,613 होगा। इस प्रगति के लिए सामान्य समीकरण है:
\bigg (1 +\frac{r}{n}\bigg)^n
कहां हैआर1 है और n भुगतान अवधि है।
यह पता चला है कि, जैसे ही n अनंत के करीब पहुंचता है, परिणाम ई के करीब और करीब होता जाता है, जो कि 2.71828188284 से 10 दशमलव स्थानों तक है। इस तरह यूलर ने इसकी खोज की। एक साल में 1,000 डॉलर के निवेश पर आपको अधिकतम रिटर्न 2,718 डॉलर हो सकता है।
प्रकृति में यूलर की संख्या
ई के आधार के रूप में घातांक प्राकृतिक घातांक के रूप में जाने जाते हैं, और यहाँ कारण है। यदि आप का आलेख बनाते हैं
वाई = ई ^ एक्स
आपको एक वक्र मिलेगा जो घातीय रूप से बढ़ता है, ठीक वैसे ही जैसे यदि आप वक्र को आधार १० या किसी अन्य संख्या के साथ प्लॉट करते हैं। हालांकि, वक्रआप= ईएक्सदो विशेष गुण हैं। के किसी भी मूल्य के लिएएक्स, का मान हैआपउस बिंदु पर ग्राफ के ढलान के मूल्य के बराबर होता है, और यह उस बिंदु तक वक्र के नीचे के क्षेत्र के बराबर होता है। यह ई को कलन और विज्ञान के सभी क्षेत्रों में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण संख्या बनाता है जो कलन का उपयोग करते हैं।
लॉगरिदमिक सर्पिल, जिसे समीकरण द्वारा दर्शाया गया है
आर = एई^{बीθ}
पूरी प्रकृति में, सीपियों, जीवाश्मों और फूलों में पाया जाता है। इसके अलावा, ई कई वैज्ञानिक संदर्भों में बदल जाता है, जिसमें इलेक्ट्रिक सर्किट का अध्ययन, हीटिंग और कूलिंग के नियम और स्प्रिंग डंपिंग शामिल हैं। भले ही इसे 350 साल पहले खोजा गया था, वैज्ञानिकों को प्रकृति में यूलर की संख्या के नए उदाहरण मिलते रहते हैं।