दो अदिश राशियों का गुणनफल एक अदिश है, और एक सदिश के साथ एक अदिश का गुणनफल एक सदिश है, लेकिन दो सदिशों के गुणनफल के बारे में क्या? क्या यह एक अदिश राशि है, या कोई अन्य सदिश है? जवाब है, यह या तो हो सकता है!
वेक्टर उत्पाद लेने के दो तरीके हैं। एक उनके डॉट उत्पाद को ले रहा है, जो एक स्केलर उत्पन्न करता है, और दूसरा उनके क्रॉस उत्पाद को लेकर है, जो एक और वेक्टर उत्पन्न करता है। किस उत्पाद का उपयोग किया जाता है यह विशेष परिदृश्य पर निर्भर करता है और आप किस मात्रा को खोजने का प्रयास कर रहे हैं।
दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद एक तीसरा वेक्टर उत्पन्न करता है जो दिशा में लंबवत दिशा में इंगित करता है विमान दो वैक्टरों द्वारा फैला हुआ है, और जिसका परिमाण दोनों के सापेक्ष लंबवतता पर निर्भर करता है वैक्टर
वेक्टर के क्रॉस उत्पाद की परिभाषाDefinition
हम पहले यूनिट वैक्टर के क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करते हैंमैं, जेतथाक(परिमाण 1 के सदिश जो में इंगित करते हैंएक्स-, वाई-तथाजेडमानक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के घटक निर्देश) निम्नानुसार हैं:
\बोल्ड{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0
ध्यान दें कि ये संबंध कम्यूटेटिव-विरोधी हैं, अर्थात, यदि हम उन वैक्टरों के क्रम को बदलते हैं जिनका हम उत्पाद ले रहे हैं, तो यह उत्पाद के संकेत को फ़्लिप करता है:
\बोल्ड{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
हम उपरोक्त परिभाषाओं का उपयोग दो तीन आयामी वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद के सूत्र को प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं. सबसे पहले, वैक्टर लिखेंएतथाखनिम्नलिखित नुसार:
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
दो वैक्टरों को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ बोल्ड{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ टाइम्स i} + a_zb_y\bold{k\times j} + a_zb_z\bold{k\times k}
फिर, उपरोक्त इकाई वेक्टर संबंधों का उपयोग करते हुए, यह इसे सरल करता है:
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\बोल्ड{k}
(ध्यान दें कि जिन पदों का क्रॉस उत्पाद 0 था, वे शब्द हैं जो डॉट उत्पाद बनाते हैं (जिसे स्केलर उत्पाद भी कहा जाता है)!यह संयोग नहीं है।)
दूसरे शब्दों में:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ जहां} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके क्रॉस उत्पाद का परिमाण पाया जा सकता है।
क्रॉस उत्पाद सूत्र को निम्नलिखित मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {मैट्रिक्स}\बिग| \\ = \बड़ा|\शुरू {मैट्रिक्स}a_y और a_z \\b_y & b_z\end{मैट्रिक्स}\बिग|\बोल्ड{i} -\बिग|\शुरू {मैट्रिक्स}a_x और a_z\\b_x और b_z\end{मैट्रिक्स}\बिग|\बोल्ड{j} + \बिग|\शुरू {मैट्रिक्स} a_x और a_y \\ b_x और b_y \end{matrix}\Big|\bold{k}
\text{जहां निर्धारक } \बड़ा|\शुरू{मैट्रिक्स} a & b \\ c & d \end{matrix}\Big| = विज्ञापन - बीसी
एक और, अक्सर बहुत सुविधाजनक, क्रॉस उत्पाद का सूत्रीकरण है (व्युत्पत्ति के लिए इस लेख का अंत देखें):
\बोल्ड{ए × बी} = |\बोल्ड{ए}| |\बोल्ड{बी}| \sin (θ) \बोल्ड{n}
कहा पे:
- |ए| वेक्टर का परिमाण (लंबाई) हैए
- |ख| वेक्टर का परिमाण (लंबाई) हैख
- θ के बीच का कोण है एतथा ख
- नहींद्वारा फैले हुए विमान के लंबवत इकाई वेक्टर है एतथाख
लम्बवत सदिश और दाएँ हाथ का नियम
क्रॉस उत्पाद के विवरण में, यह कहा गया है कि क्रॉस उत्पाद की दिशा वेक्टर द्वारा फैले विमान के लंबवत हैएऔर वेक्टरख. लेकिन यह दो संभावनाएं छोड़ता है: यह इंगित कर सकता हैसे बाहरविमान याजांचविमान उन वैक्टरों द्वारा फैलाया गया। वास्तविकता यह है कि हम वास्तव में तब तक चुन सकते हैं जब तक हम सुसंगत हों। हालाँकि, गणितज्ञों और वैज्ञानिकों द्वारा समान रूप से चुनी गई पसंदीदा दिशा को कुछ कहा जाता है द्वारा निर्धारित किया जाता हैदाहिने हाथ का नियम.
दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके वेक्टर क्रॉस उत्पाद की दिशा निर्धारित करने के लिए, अपने दाहिने हाथ की तर्जनी को वेक्टर की दिशा में इंगित करेंएऔर आपकी मध्यमा उंगली वेक्टर की दिशा मेंख. आपका अंगूठा तब क्रॉस उत्पाद वेक्टर की दिशा में इंगित करता है।
कभी-कभी इन दिशाओं को कागज के एक सपाट टुकड़े पर चित्रित करना मुश्किल होता है, इसलिए अक्सर निम्नलिखित सम्मेलन किए जाते हैं:
पृष्ठ में जाने वाले वेक्टर को इंगित करने के लिए, हम इसमें एक एक्स के साथ एक सर्कल बनाते हैं (इसे तीर के अंत में पूंछ पंखों का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचें जैसा कि आप इसे पीछे से देखते हैं)। एक वेक्टर को इंगित करने के लिए जो पृष्ठ के बाहर विपरीत दिशा में जाता है, हम इसमें एक बिंदु के साथ एक सर्कल बनाते हैं (इसे पृष्ठ से बाहर निकलने वाले तीर की नोक के रूप में सोचें)।
•••ना
क्रॉस उत्पाद के गुण
वेक्टर क्रॉस उत्पाद के कई गुण निम्नलिखित हैं:
\#\पाठ{1. यदि } \bold{a} \text{ और } \bold{b} \text{ समानांतर हैं, तो } \bold{a\times b} = 0
\#\पाठ{2. }\बोल्ड{ए\बार बी} = -\बोल्ड{बी\बार ए}
\#\पाठ{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
\#\पाठ{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})
\#\पाठ{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{कहां }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\शुरू {मैट्रिक्स} a_x और a_y और a_z \\b_x और b_y और b_z\\c_x और c_y और c_z\end{मैट्रिक्स }\बिग|
क्रॉस उत्पाद की ज्यामितीय व्याख्या
जब वेक्टर क्रॉस उत्पाद को पाप (θ) के संदर्भ में तैयार किया जाता है, तो इसके परिमाण को दो वैक्टरों द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकिए × बी, |ख|sin (θ) = दिखाए गए अनुसार समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई, और |ए| आधार है।
•••दाना चेन | विज्ञान
वेक्टर ट्रिपल उत्पाद का परिमाणए (बी × सी) बदले में वैक्टर द्वारा फैले समानांतर चतुर्भुज की मात्रा के रूप में व्याख्या की जा सकती हैए, खतथासी. यह है क्योंकि(बी × सी) एक वेक्टर देता है जिसका परिमाण वेक्टर द्वारा फैला हुआ क्षेत्र हैnedखऔर वेक्टरसी, और जिसकी दिशा उस क्षेत्र के लंबवत है। वेक्टर का डॉट उत्पाद लेनाएइस परिणाम के साथ, आधार क्षेत्र को ऊंचाई से अनिवार्य रूप से गुणा करता है।
उदाहरण
उदाहरण 1:आवेश के एक कण पर लगने वाला बलक्यूवेग से गतिमानवीचुंबकीय क्षेत्र मेंखद्वारा दिया गया है:
\बोल्ड{एफ} = क्यू\बोल्ड{v\बार बी}
मान लीजिए कि एक इलेक्ट्रॉन 0.005 T चुंबकीय क्षेत्र से वेग से गुजरता है 2×107 एमएस। यदि यह क्षेत्र से लंबवत रूप से गुजरता है, तो यह महसूस करेगा कि बल है:
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1.602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0.005 )\पाप (९०)\बोल्ड{n} =-१.६०२\बार १०^{-14}\पाठ{एन}\बोल्ड{n}
हालांकि, यदि इलेक्ट्रॉन क्षेत्र के समानांतर यात्रा कर रहा है, तो = 0, और पाप (0) = 0, बल 0 बना रहा है।
ध्यान दें कि क्षेत्र से लंबवत गुजरने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए, यह बल इसे एक वृत्ताकार पथ में ले जाएगा। इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या को अभिकेन्द्र बल के बराबर चुंबकीय बल निर्धारित करके और त्रिज्या के लिए हल करके पाया जा सकता हैआर:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \ का अर्थ है r = \frac{mv}{qB}
ऊपर के उदाहरण के लिए, संख्याओं को जोड़ने से लगभग 0.0227 मीटर का दायरा प्राप्त होता है।
उदाहरण 2:वेक्टर क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके भौतिक मात्रा टोक़ की गणना भी की जाती है। अगर एक बलएफस्थिति में किसी वस्तु पर लागू होता हैआरधुरी बिंदु से, टोक़τधुरी बिंदु के बारे में दिया गया है:
\बोल्ड{\ताऊ} = \बोल्ड{r\times F}
उस स्थिति पर विचार करें जिसमें एक 0.75 छड़ के अंत में एक कोण पर 7 N बल लगाया जाता है, जिसका दूसरा सिरा एक धुरी से जुड़ा होता है। के बीच का कोणआरतथाएफ70 डिग्री है, इसलिए टोक़ की गणना की जा सकती है:
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0.75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4.93 \text{Nm}\bold{ एन}
टोक़ की दिशा,नहीं, दाहिने हाथ के नियम के माध्यम से पाया जाता है। यदि ऊपर की छवि पर लागू किया जाता है, तो यह पृष्ठ या स्क्रीन से बाहर आने की दिशा देता है। सामान्य तौर पर, किसी वस्तु पर लगाया गया एक बलाघूर्ण वस्तु को घुमाने के लिए प्रेरित करना चाहेगा। टोक़ वेक्टर हमेशा रोटेशन अक्ष के समान दिशा में स्थित होगा।
वास्तव में, इस स्थिति में एक सरल दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जा सकता है: अपने दाहिने हाथ का उपयोग रोटेशन अक्ष को "पकड़ने" के लिए करें इस तरह से कि आपकी उंगलियां उस दिशा में चारों ओर घुमाती हैं जिससे संबंधित टोक़ वस्तु को घुमाने के लिए प्रेरित करेगा। आपका अंगूठा तब टोक़ वेक्टर की दिशा में इशारा कर रहा है।
क्रॉस उत्पाद फॉर्मूला की व्युत्पत्ति
\text{यहां हम दिखाएंगे कि कैसे क्रॉस उत्पाद सूत्र } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\बोल्ड{बी}| \sin (θ) \bold{n} \text{ व्युत्पन्न किया जा सकता है।}
दो वैक्टर पर विचार करेंएतथाखकोण के साथθउनके बीच। सदिश की नोक से एक रेखा खींचकर एक समकोण त्रिभुज बनाया जा सकता हैएवेक्टर पर संपर्क के लंबवत बिंदु परख.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त करते हैं:
\बिग|\बिग(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b}\Big|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2
\text{कहां }\बड़ा(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ वेक्टर का प्रक्षेपण है } \bold {a} \text{ वेक्टर पर } \bold{b}.
व्यंजक को थोड़ा सरल करने पर हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ ए}|^2
इसके बाद, समीकरण के दोनों पक्षों को |. से गुणा करेंख|2 और प्राप्त करने के लिए पहले पद को दाईं ओर ले जाएँ:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
दाईं ओर से काम करते हुए, सब कुछ गुणा करें और फिर सरल करें:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z) ^2 (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
परिणाम को पिछले समीकरण के बाईं ओर के बराबर सेट करने पर, हमें निम्नलिखित संबंध मिलते हैं:
|\बोल्ड{ए\बार बी}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|
इससे हमें पता चलता है कि सूत्र में परिमाण समान हैं, इसलिए सूत्र को सिद्ध करने के लिए अंतिम कार्य यह दिखाना है कि दिशाएँ भी समान हैं। यह केवल के डॉट उत्पादों को लेकर किया जा सकता हैएसाथ सेए × बीतथाखसाथ सेए × बीऔर दिखा रहा है कि वे 0 हैं, जिसका अर्थ है कि की दिशाए × बी दोनों के लिए लंबवत है।