कार्यों को एकीकृत करना कलन के मुख्य अनुप्रयोगों में से एक है। कभी-कभी, यह सीधा होता है, जैसे:
एफ(एक्स) = \int( x^3 + 8) डीएक्स
इस प्रकार के तुलनात्मक रूप से जटिल उदाहरण में, आप अनिश्चित समाकलन को एकीकृत करने के लिए मूल सूत्र के एक संस्करण का उपयोग कर सकते हैं:
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
कहां हैएतथासीस्थिरांक हैं।
इस प्रकार इस उदाहरण के लिए,
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
मूल वर्गमूल कार्यों का एकीकरण
सतह पर, एक वर्गमूल फ़ंक्शन को एकीकृत करना अजीब है। उदाहरण के लिए, आप इससे स्तब्ध हो सकते हैं:
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
लेकिन आप वर्गमूल को घातांक के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, 1/2:
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
अभिन्न इसलिए बन जाता है:
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
जिस पर आप ऊपर से सामान्य सूत्र लागू कर सकते हैं:
\शुरू {गठबंधन} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{aligned}
अधिक जटिल वर्गमूल कार्यों का एकीकरण
कभी-कभी, आपके पास मूल चिह्न के तहत एक से अधिक पद हो सकते हैं, जैसा कि इस उदाहरण में है:
एफ(एक्स) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
आप उपयोग कर सकते हैंतुम- आगे बढ़ने के लिए प्रतिस्थापन। यहाँ, आप सेट करेंतुमहर में मात्रा के बराबर:
यू = \sqrt{x - 3}
इसे हल करेंएक्सदोनों पक्षों का वर्ग करके और घटाकर:
यू^2 = एक्स - 3 \\ एक्स = यू^2 + 3
यह आपको के संदर्भ में dx प्राप्त करने की अनुमति देता हैतुमका व्युत्पन्न लेकरएक्स:
डीएक्स = (2यू) डु
मूल समाकल में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है
\begin{aligned} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }डु \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{aligned}
अब आप इसे मूल सूत्र और व्यक्त करने का उपयोग करके एकीकृत कर सकते हैंतुमके अनुसारएक्स:
\begin{aligned} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8( \sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + सी \end{संरेखित}