रेडिकल भिन्नों को सरल कैसे करें

कट्टरपंथी अंश छोटे विद्रोही अंश नहीं हैं जो देर से बाहर रहते हैं, शराब पीते हैं और धूम्रपान करते हैं। इसके बजाय, वे भिन्न होते हैं जिनमें मूलक शामिल होते हैं - आमतौर पर वर्गमूल जब आपको पहली बार पेश किया जाता है अवधारणा, लेकिन बाद में आपका सामना घनमूल, चौथी जड़ें और इसी तरह से हो सकता है, जिन्हें सभी कहा जाता है कट्टरपंथी भी। आपके शिक्षक आपसे वास्तव में क्या करने के लिए कह रहे हैं, इस पर निर्भर करते हुए, मूलांक भिन्नों को सरल बनाने के दो तरीके हैं: पूरी तरह से, इसे सरल बनाएं, या भिन्न को "तर्कसंगत" करें, जिसका अर्थ है कि आप हर से मूलक को समाप्त करते हैं, लेकिन फिर भी इसमें एक मूलक हो सकता है अंश।

अपने पहले विकल्प पर विचार करें, भिन्न में से मूलक का गुणनखंड करें। ऐसा करने के वास्तव में दो तरीके हैं। यदि एक ही मूलक मौजूद है सभी शर्तें भिन्न के ऊपर और नीचे दोनों में, आप केवल मूलनिर्णायक व्यंजक को निकाल सकते हैं और रद्द कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास है:

(2√3) / (3√3_)_

आप दोनों मूलकों का गुणनखंड कर सकते हैं, क्योंकि वे अंश और हर में प्रत्येक पद में मौजूद हैं। यह आपको छोड़ देता है:

√3/√3 × 2/3

और क्योंकि अंश और हर में समान गैर-शून्य मानों वाला कोई भी अंश एक के बराबर होता है, आप इसे इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

1 × 2/3

या बस 2/3।

कभी-कभी आपका सामना एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति से होगा जिसका संक्षिप्त उत्तर नहीं है, जैसे पिछले उदाहरण से √3। उस स्थिति में आप आम तौर पर मौलिक शब्द को वैसे ही संरक्षित रखेंगे, जैसे कि इसे हटाने या अलग करने के लिए फैक्टरिंग या रद्द करने जैसे बुनियादी संचालन का उपयोग करना। लेकिन कभी-कभी एक स्पष्ट उत्तर होता है। निम्नलिखित अंश पर विचार करें:

(√4)/(√9)

इस मामले में, यदि आप अपने वर्गमूल को जानते हैं, तो आप देख सकते हैं कि दोनों रेडिकल वास्तव में परिचित पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। 4 का वर्गमूल 2 है और 9 का वर्गमूल 3 है। इसलिए यदि आप परिचित वर्गमूल देखते हैं, तो आप उनके साथ भिन्न को उनके सरलीकृत, पूर्णांक रूप में फिर से लिख सकते हैं। इस मामले में, आपके पास होगा:

2/3

यह क्यूब रूट्स और अन्य रेडिकल्स के साथ भी काम करता है। उदाहरण के लिए, 8 का घनमूल 2 है और 125 का घनमूल 5 है। तो अगर आपका सामना हुआ:

(³√8) / (³√125)

आप, थोड़े से अभ्यास के साथ, तुरंत देख पाएंगे कि यह बहुत सरल और संभालने में आसान है:

2/5

अक्सर, शिक्षक आपको आपके भिन्न के अंश में मूल भाव रखने देंगे; लेकिन, संख्या शून्य की तरह, मूलक समस्याएँ पैदा करते हैं जब वे भिन्न के हर या निचली संख्या में आते हैं। इसलिए, अंतिम तरीका जो आपसे मूल भिन्नों को सरल बनाने के लिए कहा जा सकता है, एक ऑपरेशन है जिसे उन्हें युक्तिसंगत बनाना कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि हर से मूलक निकालना। अक्सर, इसका मतलब है कि मूल अभिव्यक्ति इसके बजाय अंश में बदल जाती है।

भिन्न पर विचार करें

4/_√_5

आप आसानी से _√_5 को एक पूर्णांक तक सरल नहीं बना सकते हैं, और यदि आप इसे निकाल भी देते हैं, तब भी आपके पास एक भिन्न बची रहती है जिसमें हर में एक मूलांक होता है, जो इस प्रकार है:

1/_√_5 × 4/1

तो पहले से चर्चा की गई विधियों में से कोई भी काम नहीं करेगा। लेकिन अगर आपको भिन्नों के गुण याद हैं, तो ऊपर और नीचे दोनों तरफ किसी भी गैर-शून्य संख्या वाली भिन्न 1 के बराबर होती है। तो आप लिख सकते हैं:

√_5/√_5 = 1

और क्योंकि आप उस दूसरी चीज़ के मूल्य को बदले बिना किसी भी चीज़ का 1 गुना गुणा कर सकते हैं, आप अंश के मूल्य को वास्तव में बदले बिना निम्नलिखित भी लिख सकते हैं:

√_5/√5 × 4/√_5

एक बार जब आप गुणा करते हैं, तो कुछ खास होता है। अंश 4_√_5 हो जाता है, जो स्वीकार्य है क्योंकि आपका लक्ष्य केवल हर में से मूलांक निकालना था। यदि यह अंश में दिखाई देता है, तो आप इससे निपट सकते हैं।

इस बीच, हर बन जाता है √_5 × √5 या (√_5)². और क्योंकि एक वर्गमूल और एक वर्ग एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जो कि केवल 5 तक सरल हो जाता है। तो आपका अंश अब है:

4_√_5/5, जिसे परिमेय भिन्न माना जाता है क्योंकि हर में कोई मूलांक नहीं होता है।