द्विपद घन कैसे करें

बीजगणित दोहराए जाने वाले पैटर्न से भरा है जिसे आप हर बार अंकगणित द्वारा काम कर सकते हैं। लेकिन क्योंकि वे पैटर्न इतने सामान्य हैं, गणना को आसान बनाने में मदद करने के लिए आमतौर पर किसी प्रकार का एक सूत्र होता है। द्विपद का घन एक महान उदाहरण है: यदि आपको इसे हर बार हल करना होता है, तो आप पेंसिल और कागज पर मेहनत करने में बहुत समय व्यतीत करते हैं। लेकिन एक बार जब आप उस घन को हल करने के लिए सूत्र (और इसे याद रखने के लिए कुछ आसान तरकीबें) जान जाते हैं, तो अपना उत्तर ढूंढना उतना ही सरल है जितना कि सही शब्दों को सही चर स्लॉट में प्लग करना।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

द्विपद के घन का सूत्र (ए + ख) है:

(ए + ख)³ = ए³ + 3_ए_²ख + 3_ab_² + ख³

जब आपको कोई समस्या दिखाई दे तो घबराने की जरूरत नहीं है (ए + बी)³ आप के सामने। एक बार जब आप इसे इसके परिचित घटकों में तोड़ देते हैं, तो यह आपके द्वारा पहले की गई अधिक परिचित गणित की समस्याओं की तरह दिखना शुरू हो जाएगा।

इस मामले में, यह याद रखने में मदद करता है कि

(ए + बी)³

के समान है

(ए + बी) (ए + बी) (ए + बी), जो बहुत अधिक परिचित दिखना चाहिए।

लेकिन हर बार शुरुआत से गणित को हल करने के बजाय, आप एक सूत्र के "शॉर्टकट" का उपयोग कर सकते हैं जो आपको मिलने वाले उत्तर का प्रतिनिधित्व करता है। द्विपद के घन का सूत्र इस प्रकार है:

(ए + बी)³ = ए³ + 3a²बी + 3ab² + बी³

सूत्र का उपयोग करने के लिए, पहचानें कि कौन सी संख्याएं (या चर) बाईं ओर "ए" और "बी" के लिए स्लॉट पर कब्जा करती हैं समीकरण, फिर उन्हीं संख्याओं (या चर) को "ए" और "बी" स्लॉट में दाईं ओर प्रतिस्थापित करें सूत्र।

उदाहरण 1: का समाधान (एक्स + 5)³

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्स आपके सूत्र के बाईं ओर "a" स्लॉट पर कब्जा कर लेता है, और 5 "b" स्लॉट पर कब्जा कर लेता है। स्थानापन्न एक्स और 5 सूत्र के दाईं ओर आपको देता है:

एक्स³ + 3x²5 + 3x5² + 5³

थोड़ा सा सरलीकरण आपको एक उत्तर के करीब ले जाता है:

एक्स³ + 3(5)x² + 3(25)x + 125

और अंत में, एक बार जब आप जितना हो सके सरल कर लेते हैं:

एक्स³ + 15x² + 75x + 125

किसी समस्या को हल करने के लिए आपको किसी भिन्न सूत्र की आवश्यकता नहीं है जैसे (वाई - 3)³. अगर आपको याद है कि वाई - 3 के समान है वाई + (-3), आप बस समस्या को फिर से लिख सकते हैं [वाई + (-3)]³ और अपने परिचित सूत्र का उपयोग करके इसे हल करें।

उदाहरण 2: का समाधान (वाई - 3)³

जैसा कि पहले ही चर्चा की जा चुकी है, आपका पहला कदम समस्या को फिर से लिखना है [वाई + (-3)]³.

इसके बाद, द्विपद के घन के लिए अपना सूत्र याद रखें:

(ए + बी)³ = ए³ + 3a²बी + 3ab² + बी³

आपकी समस्या में, आप समीकरण के बाईं ओर "ए" स्लॉट पर कब्जा कर लेता है, और -3 "बी" स्लॉट पर कब्जा कर लेता है। -3 के सामने ऋणात्मक चिह्न को संरक्षित करने के लिए अपने कोष्ठकों का बहुत ध्यान रखते हुए, उन्हें समीकरण के दाईं ओर उपयुक्त स्लॉट में रखें। यह आपको देता है:

आप³ +3वर्ष²(-3) + 3y(-3)² + (-3)³

अब इसे सरल बनाने का समय आ गया है। फिर, जब आप घातांक लागू करते हैं, तो उस नकारात्मक चिह्न पर पूरा ध्यान दें:

आप³ + 3(-3)y² + 3(9)y + (-27)

सरलीकरण का एक और दौर आपको अपना उत्तर देता है:

आप³ - 9y² + 27y - 27

हमेशा इस बात पर पूरा ध्यान दें कि आपकी समस्या में घातांक कहाँ हैं। यदि आप प्रपत्र में कोई समस्या देखते हैं (ए + बी)³, या [ए + (-बी)]³, तो यहां जिस सूत्र की चर्चा की जा रही है वह उपयुक्त है। लेकिन अगर आपकी समस्या दिखती है (ए³ + बी³) या (ए³ - बी³), यह द्विपद का घन नहीं है। यह घनों का योग है (पहले मामले में) या घनों का अंतर (दूसरे मामले में), जिस स्थिति में आप निम्न में से किसी एक सूत्र को लागू करते हैं:

(ए³ + बी³) = (ए + बी) (ए² - एबी + बी²)

(ए³ - बी³) = (ए - बी) (ए² + एबी + बी²)