आप एक ऐसे समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं जिसमें एक अपरिमेय हर के साथ एक भिन्न हो, जिसका अर्थ है कि हर में एक रेडिकल चिन्ह वाला शब्द होता है। इसमें वर्गाकार, घन और उच्च मूल शामिल हैं। मूल चिन्ह से छुटकारा पाना हर को युक्तिसंगत बनाना कहलाता है। जब हर में एक पद हो, तो आप शीर्ष और निचले पदों को मूलांक से गुणा करके ऐसा कर सकते हैं। जब हर में दो पद होते हैं, तो प्रक्रिया थोड़ी अधिक जटिल होती है। आप हर के संयुग्म से ऊपर और नीचे गुणा करते हैं और विस्तार करते हैं और बस अंश।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक भिन्न को युक्तिसंगत बनाने के लिए, आपको अंश और हर को एक संख्या या व्यंजक से गुणा करना होगा जो हर में मूल चिह्नों से छुटकारा दिलाता है।
हर में एक पद के साथ एक अंश को युक्तिसंगत बनाना
हर में एक पद के वर्गमूल वाली भिन्न को युक्तिसंगत बनाना सबसे आसान है। सामान्य तौर पर, भिन्न रूप लेता हैए / √एक्स. आप अंश और हर को √. से गुणा करके इसे युक्तिसंगत बनाते हैंएक्स.
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} × \frac{ a}{\sqrt{x}} = \frac{a\sqrt{x}}{x}
चूँकि आपने केवल भिन्न को 1 से गुणा किया है, इसका मान नहीं बदला है।
उदाहरण:
युक्तिसंगत
\frac{12}{\sqrt{6}}
प्राप्त करने के लिए अंश और हर को √6 से गुणा करें
\frac{12\sqrt{6}}{6}
आप 6 को 12 में विभाजित करके 2 प्राप्त करने के लिए इसे सरल बना सकते हैं, इसलिए परिमेय भिन्न का सरलीकृत रूप है
2\वर्ग{6}
हर में दो शब्दों के साथ एक अंश को युक्तिसंगत बनाना
मान लीजिए कि आपके पास रूप में एक भिन्न है
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
आप व्यंजक को उसके संयुग्म से गुणा करके हर में मूल चिन्ह से छुटकारा पा सकते हैं। फॉर्म के सामान्य द्विपद के लिएएक्स + आप, संयुग्म हैएक्स − आप. जब आप इन्हें एक साथ गुणा करते हैं, तो आपको मिलता हैएक्स2 − आप2. इस तकनीक को ऊपर सामान्यीकृत अंश पर लागू करना:
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \ \ \,\\ (ए + बी) × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}
पाने के लिए अंश का विस्तार करें
\frac{a\sqrt{x} -a\sqrt{y} + b\sqrt{x} - b\sqrt{y}}{x - y}
जब आप कुछ या सभी चरों के लिए पूर्णांकों को प्रतिस्थापित करते हैं तो यह व्यंजक कम जटिल हो जाता है।
उदाहरण:
भिन्न के हर को युक्तिसंगत बनाएं
\frac{3}{1 - \sqrt{y}}
हर का संयुग्म 1 है - ( −आप) = 1+ √आप. अंश और हर को इस व्यंजक से गुणा करें और सरल करें:
\frac{3 × (1 + \sqrt{y})}{1 - y} \\ \,\\ \frac{3 + 3\sqrt{y}}{1 - y}
घन जड़ों को युक्तिसंगत बनाना
जब आपके पास हर में घनमूल होता है, तो आपको अंश और हर को गुणा करना होता है में मूल चिन्ह से छुटकारा पाने के लिए मूलांक के नीचे की संख्या के वर्ग का घनमूल हर। सामान्य तौर पर, यदि आपके पास रूप में भिन्न हैए / 3√एक्स, ऊपर और नीचे से गुणा करें 3√एक्स2.
उदाहरण:
हर को युक्तिसंगत बनाएं:
\frac{7}{\sqrt[3]{x}}
अंश और हर को से गुणा करें 3√एक्स2 पाने के लिए
\frac{7 × \sqrt[3]{x^2} }{ \sqrt[3]{x} × \sqrt[3]{x^2} }= \frac{7 × \sqrt[3]{x ^2} }{ \sqrt[3]{x^3}} \\ \,\\ \frac{7 \sqrt[3]{x^2}}{x}