कभी-कभी, गणितीय गणनाओं के माध्यम से प्राप्त करने का एकमात्र तरीका पाशविक बल होता है। लेकिन हर बार, आप विशेष समस्याओं को पहचानकर बहुत सारे काम बचा सकते हैं जिन्हें हल करने के लिए आप एक मानकीकृत सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। घनों का योग ज्ञात करना और घनों का अंतर ज्ञात करना ठीक उसी के दो उदाहरण हैं: एक बार जब आप गुणनखंड के सूत्रों को जान लेते हैंए3 + ख3 याए3 - ख3, उत्तर खोजना उतना ही आसान है जितना कि a और b के मानों को सही सूत्र में प्रतिस्थापित करना।
इसे संदर्भ में रखना
सबसे पहले, इस पर एक त्वरित नज़र डालें कि आप क्यों खोजना चाहते हैं - या अधिक उचित रूप से "कारक" - क्यूब्स का योग या अंतर। जब अवधारणा पहली बार पेश की जाती है, तो यह अपने आप में एक साधारण गणित की समस्या होती है। लेकिन अगर आप गणित का अध्ययन जारी रखते हैं, तो बाद में यह अधिक जटिल गणनाओं में एक मध्यवर्ती कदम बन जाएगा। तो अगर आपको मिलता हैए3 + ख3 याए3 − ख3 अन्य गणनाओं के दौरान उत्तर के रूप में, आप उन कौशलों का उपयोग कर सकते हैं जिन्हें आप सीखने वाले हैं, उन घनों को तोड़ने के लिए संख्याओं को सरल घटकों में अलग करता है, जो अक्सर मूल को हल करना जारी रखना आसान बनाता है संकट।
घनों के योग का गुणनखंड करना
कल्पना कीजिए कि आप द्विपद पर आ गए हैं
एक्स^3 + 27
और इसे सरल बनाने के लिए कहा गया है। पहला कार्यकाल,एक्स3, स्पष्ट रूप से एक घन संख्या है। थोड़ी जांच के बाद, आप देख सकते हैं कि दूसरी संख्या वास्तव में एक घन संख्या भी है: 27 वही है जो 3. है3. अब जब आप जानते हैं कि दोनों संख्याएँ घन हैं, तो आप घनों के योग का सूत्र लागू कर सकते हैं।
यदि पहले से ऐसा नहीं है तो दोनों संख्याओं को उनके घन रूप में लिखिए। इस उदाहरण को जारी रखने के लिए, आपके पास:
x^3 + 27 = x^3 + 3^3
एक बार जब आप इस प्रक्रिया के अभ्यस्त हो जाते हैं, तो आप इस चरण को छोड़ सकते हैं और सीधे चरण 1 के मानों को सूत्र में भरने के लिए जा सकते हैं। लेकिन विशेष रूप से जब आप सीख रहे हों, तो कदम दर कदम आगे बढ़ना और अपने आप को सूत्र याद दिलाना सबसे अच्छा है:
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
इस समीकरण के बाएँ पक्ष की तुलना चरण 1 के परिणाम से करें। ध्यान दें कि आप स्थानापन्न कर सकते हैंएक्सकी जगह मेंए,और के स्थान पर ३बी
चरण 1 के मानों को चरण 2 में सूत्र में रखें। मतलब आपके पास है:
x^3 + 3^3 = (x + 3) (x^2 - 3x + 3^2)
अभी के लिए, समीकरण के दाईं ओर पहुंचना आपके उत्तर का प्रतिनिधित्व करता है। यह दो घन संख्याओं के योग के गुणनखंड का परिणाम है।
क्यूब्स के अंतर को फैक्टरिंग
दो घन संख्याओं के अंतर का गुणनखंड उसी तरह काम करता है। वास्तव में, सूत्र लगभग घनों के योग के सूत्र के समान है। लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर है: ऋण चिह्न कहाँ जाता है, इस पर विशेष ध्यान दें।
कल्पना कीजिए कि आपको समस्या मिलती है
वाई^3 - 125
और इसे कारक बनाना है। पहले जैसा,आप3 एक स्पष्ट घन है, और थोड़ा विचार करके आपको यह पहचानने में सक्षम होना चाहिए कि 125 वास्तव में 5. है3. मतलब आपके पास है:
y^3 - 125 = y^3 - 5^3
पहले की तरह, घनों के अंतर का सूत्र लिखिए। ध्यान दें कि आप स्थानापन्न कर सकते हैंआपके लियेएऔर 5 के लिएख, और इस सूत्र में ऋण चिह्न कहाँ जाता है, इस पर विशेष ध्यान दें। ऋण चिह्न का स्थान इस सूत्र और घनों के योग के सूत्र के बीच का एकमात्र अंतर है।
a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
सूत्र को फिर से लिखें, इस बार चरण 1 से मानों को प्रतिस्थापित करते हुए। यह प्रदान करता है:
y^3 - 5^3 = (y - 5)(y^2 + 5y + 5^2)
फिर से, यदि आपको केवल घनों के अंतर का गुणनखंड करना है, तो यह आपका उत्तर है।