जब पहली बार सीखा गया, तो गणित की अवधारणाएं जैसे कि कम से कम सामान्य गुणक (LCM) और सबसे कम सामान्य भाजक (LCD) असंबंधित लग सकती हैं। वे भी बहुत कठिन लग सकते हैं। लेकिन, अन्य गणित कौशलों की तरह, अभ्यास मदद करता है। भविष्य में गणित के पाठों और कक्षाओं में दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक और दो या दो से अधिक अंशों का सबसे छोटा सामान्य भाजक खोजना मूल्यवान कौशल होगा।
एलसीएम को परिभाषित करना
दो (या अधिक) संख्याओं में से सबसे छोटा समापवर्तक, लघुत्तम समापवर्त्य या LCM कहलाता है। "आम" का क्या अर्थ है? इस मामले में सामान्य का अर्थ है साझा या दो (या अधिक) संख्याओं के गुणज के रूप में सामान्य। उदाहरण के लिए, 4 और 5 का लघुत्तम समापवर्तक 20 है। 4 और 5 दोनों 20 के गुणनखंड हैं।
एलसीडी को परिभाषित करना
दो या दो से अधिक हरों के कम से कम सामान्य गुणक को कम से कम सामान्य भाजक या एलसीडी कहा जाता है। इस मामले में, एक भिन्न के हर (या निचली संख्या) में सामान्य गुणक होता है। भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय LCD की गणना की जानी चाहिए। भिन्नों को गुणा या भाग करते समय LCD की आवश्यकता नहीं होती है।
एलसीएम बनाम। एलसीडी
LCD और LCM को समान गणित प्रक्रिया की आवश्यकता होती है: दो (या अधिक) संख्याओं का एक सामान्य गुणक ढूँढना। एलसीडी और एलसीएम के बीच एकमात्र अंतर यह है कि एलसीडी एक अंश के हर में एलसीएम है। इसलिए, कोई कह सकता है कि कम से कम सामान्य भाजक कम से कम सामान्य गुणकों का एक विशेष मामला है।
एलसीएम की गणना
दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग करके किया जा सकता है। गुणनखंडन दो या दो से अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने के लिए एक त्वरित और प्रभावी तरीका प्रदान करता है।
फैक्टर चेक
कम से कम सामान्य गुणक की तलाश करते समय, यह देखने के लिए जाँच करें कि क्या एक संख्या दूसरी संख्या का गुणक है या गुणनखंड है। उदाहरण के लिए, 3 और 12 के एलसीएम की तलाश करते समय, ध्यान दें कि 12 3 का गुणज है क्योंकि 3 गुना 4 बराबर 12 (3 × 4 = 12) है। एलसीएम 12 से कम नहीं हो सकता क्योंकि 12 कारकों में से एक है। (याद रखें कि १२ गुना १, १२ [१२ × १ = १२] के बराबर है।) चूँकि ३ और १२ दोनों १२ के गुणनखंड हैं, ३ और १२ का एलसीएम १२ है। इस कारक जाँच से शुरू करने से कुछ समस्याओं का शीघ्र समाधान हो जाएगा।
एलसीएम खोजने के लिए गुणनखंडन
गुणनखंडन का प्रयोग शीघ्रता और कुशलता से दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करता है सरल संख्याओं का उपयोग करके विधि का अभ्यास करें। उदाहरण के लिए, प्रत्येक संख्या का गुणनखंड करके 5 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। 5 के गुणनखंड 1 और 5 तक सीमित हैं, क्योंकि 5 एक अभाज्य संख्या है। १२ का गुणनखंड १२ को ३ × ४ या २ × ६ में विभाजित करके शुरू होता है। समस्या का समाधान इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कौन सा युग्म कारकों का प्रारंभिक बिंदु है।
गुणनखंड 3 और 4 से शुरू करते हुए, आगे 12 के गुणनखंडों का मूल्यांकन करें। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए 3 का और अधिक गुणनखंड नहीं किया जा सकता। दूसरी ओर, 4 गुणनखंड 2 × 2, अभाज्य संख्याएँ। अब 12 को 3 × 2 × 2 में विभाजित किया जाता है, और 5 को 1 × 5 में विभाजित किया जाता है। इन कारकों के संयोजन से (3 × 2 × 2) और (5 × 1) प्राप्त होता है। चूंकि कोई दोहराए गए कारक नहीं हैं, एलसीएम में सभी कारक शामिल होंगे। इसलिए, 5 और 12 का एलसीएम होगा
3 × 2 × 2 × 5 = 60
एक और उदाहरण देखें, 4 और 10 का एलसीएम ज्ञात करना। एक स्पष्ट सामान्य गुणक 40 है, लेकिन क्या 40 सबसे छोटा सामान्य गुणक है? जाँच करने के लिए गुणनखंड का प्रयोग करें। सबसे पहले, गुणनखंड 4 2 × 2 देता है, और गुणनखंड 10 2 × 5 देता है। दो संख्याओं के गुणनखंडों को समूहित करने से पता चलता है कि (2 × 2) और (2 × 5)। चूँकि दोनों गुणनखंडों में एक उभयनिष्ठ संख्या 2 है, इसलिए 2 में से किसी एक को समाप्त किया जा सकता है। शेष कारकों का संयोजन देता है
2 × 2 × 5 = 20
उत्तर की जाँच करने से पता चलता है कि 20, 4 (4 × 5) और 10 (10 × 2) दोनों का गुणज है, इसलिए 4 और 10 का LCM 20 के बराबर है।
एलसीडी गणित
भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य भाजक साझा करना चाहिए। कम से कम सामान्य भाजक को खोजने का अर्थ है भिन्नों के हर के सबसे कम सामान्य गुणक का पता लगाना। मान लीजिए कि समस्या को जोड़ने की आवश्यकता है (3/4) और (1/2)। इन संख्याओं को सीधे नहीं जोड़ा जा सकता क्योंकि 4 और 2 के हर समान नहीं हैं। चूँकि 2, 4 का गुणनखंड है, सबसे छोटा सार्व भाजक 4 है। गुणा
\frac{1}{2} × \frac{2}{2} = \frac{2}{4}
समस्या अब बन जाती है
\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} \text{ या } 1 \, \frac{1}{4}
थोड़ी अधिक चुनौतीपूर्ण समस्या,
\frac{1}{6} + \frac{3}{16}
फिर से दो हरों के एलसीएम को खोजने की आवश्यकता है, अन्यथा एलसीडी के रूप में जाना जाता है। 6 और 16 के गुणनखंडों का उपयोग करने से (2 × 3) और (2 × 2 × 2 × 2) के गुणनखंड प्राप्त होते हैं। चूँकि दोनों गुणनखंडों में एक 2 को दोहराया जाता है, एक 2 को परिकलन से हटा दिया जाता है। एलसीएम के लिए अंतिम गणना बन जाती है
3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48
एलसीडी के लिए
\frac{1}{6} + \frac{3}{16}
इसलिए 48 है।