कर्ण गणित और विज्ञान में कई शब्दों में से एक है जिसे ज्यादातर लोगों ने सुना है, लेकिन कुछ ही ठीक से परिभाषित या वर्णन कर सकते हैं। यह a. के सबसे लंबे पक्ष को संदर्भित करता है सही त्रिकोण, जो बहुत ही बुनियादी आवश्यकताओं के साथ एक प्रकार का ज्यामितीय निर्माण है लेकिन आकार और समग्र आकार की व्यावहारिक रूप से असीमित सीमा है।
एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसका कोण 90 डिग्री है। इस एकमात्र आवश्यकता के परिणामस्वरूप त्रिभुजों में अद्वितीय गणितीय गुणों की एक अद्भुत सरणी होती है, जिसमें के तरीके भी शामिल हैं अन्य दो पक्षों या एक पक्ष और दो गैर-90-डिग्री में से एक के बारे में दी गई जानकारी के कर्ण की लंबाई निर्धारित करें कोण।
समकोण त्रिभुज के गुण Properties
एक समकोण त्रिभुज का कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है, जो हमेशा समकोण के पार स्थित होती है। अन्य दो भुजाओं की लंबाई, कहलाती है पैर, लगभग असीमित रूप से भिन्न हो सकते हैं क्योंकि अन्य दो कोणों में से प्रत्येक केवल 0 डिग्री से अधिक और केवल 90 डिग्री के बीच हो सकता है बशर्ते उनका योग 90 हो। इस तथ्य से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री और एक समकोण 90 डिग्री होता है।
कर्ण सूत्र, जिसे आप पहले से ही जानते होंगे, का औपचारिक गणितीय व्यंजक है पाइथागोरस प्रमेय। यह दावा करता है कि त्रिभुज a और b की छोटी दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण c की लंबाई के वर्ग के बराबर है:
ए^2 + बी^2 = सी^2
पक्षों से कर्ण की गणना कैसे करें
आप पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र से देख सकते हैं कि प्रत्येक पक्ष का वर्गमूल लेने पर कर्ण के मान के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त होता है:
सी = \sqrt{a^2 + b^2}
यदि आपके पास त्रिभुज के दोनों पैरों की लंबाई के लिए मान हैं, तो आपको कर्ण की लंबाई का पता लगाने के लिए कोणों के परिमाण के बारे में किसी जानकारी की आवश्यकता नहीं है। आपको केवल प्रत्येक लेग मान को स्वतंत्र रूप से वर्गाकार करना है, परिणामों को एक साथ जोड़ना है, और उत्तर प्राप्त करने के लिए इस योग का वर्गमूल लेना है।
- पहले टाँगों के मान जोड़ने और फिर परिणाम का वर्ग करने की गलती न करें, अन्यथा आपका उत्तर गलत होगा।
एक तरफ और एक कोण से कर्ण की गणना कैसे करें
उपरोक्त कर्ण समीकरण केवल काम का है क्या आप दोनों पैरों की लंबाई जानते हैं। कुछ स्थितियों में, आपको केवल एक पैर की लंबाई के साथ-साथ दो गैर-समकोण कोणों में से एक का परिमाण दिया जा सकता है। यह कोण ज्ञात पैर के निकट हो सकता है, या यह इसके पार हो सकता है (इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए आरेख देखें)।
सही ढंग से लेबल किए गए समकोण त्रिभुज में, भुजा a कोण B और समकोण C के बीच स्थित है, और भुजा b कोण A और C के बीच स्थित है; कर्ण c इस प्रकार A और B को मिलाता है। यह निम्नलिखित त्रिकोणमितीय संबंधों को जन्म देता है:
पाप ए = ए/सी, पाप बी = बी/सी
कॉस ए = बी/सी, कॉस बी = ए/सी
तन ए = ए/बी, तन बी = बी/ए
एक वास्तविक कर्ण समस्या
आप किन संबंधों का उपयोग करते हैं यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस कोण और किस पक्ष को जानते हैं। संदर्भ के लिए, कोण की ज्या विपरीत भुजा के मान को कर्ण की ज्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है; कोज्या कर्ण से विभाजित आसन्न भुजा का मान है; और स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का वह मान है जो आसन्न भुजा से विभाजित होता है।
उदाहरण के लिए, यदि पक्ष ए = 15, और कोण ए = 55 डिग्री, आप कर्ण को खोजने के लिए अपने कैलकुलेटर पर साइन फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं। चूंकि पाप ए = एसी, आपके पास सी = ए/sin ए = १५/पाप ५५. यह 15/0.8192 = 18.31 निकला।
