एक विशिष्ट ज्यामितीय समस्या एक वृत्त के अंदर अंकित एक वर्ग के क्षेत्रफल का निर्धारण कर रही है जब वृत्त के व्यास की लंबाई ज्ञात हो। व्यास वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली एक रेखा है जो वृत्त को दो बराबर भागों में काटती है।
वर्ग एक चार भुजा वाली आकृति है जिसमें चारों भुजाओं की लंबाई बराबर होती है और चारों कोण 90 डिग्री के कोण होते हैं। एक खुदा हुआ वर्ग एक वृत्त के अंदर इस तरह खींचा गया वर्ग है कि वर्ग के चारों कोने वृत्त को स्पर्श करते हैं।
वृत्त के केंद्र के माध्यम से खुदा हुआ वर्ग के एक कोने से खींची गई एक विकर्ण रेखा वर्ग के विपरीत कोने तक पहुंच जाएगी। यह रेखा वृत्त का व्यास बनाती है और साथ ही साथ वर्ग को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है - त्रिभुज जिसमें तीनों में से एक कोण 90 डिग्री का होता है।
इन समकोण त्रिभुजों में से प्रत्येक में, दो समान छोटी भुजाओं के वर्गों का योग (. की भुजाएँ) वर्ग) सबसे लंबी भुजा (वृत्त का व्यास) के वर्ग के बराबर होती है, जिसका मान ज्ञात है मात्रा। यह सूत्र, जब ठीक से हल किया जाता है, तो पता चलता है कि वर्ग की एक भुजा वृत्त के आधे व्यास (अर्थात, इसकी त्रिज्या) के 2 के वर्गमूल के गुणा के बराबर होती है। चूँकि वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं में से एक को स्वयं से गुणा करने पर होता है, इसलिए क्षेत्रफल वृत्त की त्रिज्या 2 के वर्ग के बराबर होता है। चूँकि वृत्त की त्रिज्या एक ज्ञात मात्रा है, यह अंकित वर्ग के क्षेत्रफल के लिए संख्यात्मक मान प्रदान करता है।
