यदि आप भाव 3. देखते हैं2 और 53, आप एक फलते-फूलते हुए घोषणा कर सकते हैं कि इनका अर्थ "तीन वर्ग" और "पांच घन" है, और बिना समतुल्य संख्याओं को खोजने के बारे में जाने में सक्षम हैं घातांक, ऊपर दाईं ओर सुपरस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाई गई संख्याएँ। इस मामले में ये संख्याएं 9 और 125 हैं।
लेकिन क्या होगा अगर, इसके बजाय, एक साधारण घातीय फ़ंक्शन जैसे कि y = x. कहें 3, इसके बजाय आपको y = 3 equation जैसे समीकरण को हल करना होगाएक्स. यहाँ x, आश्रित चर, एक घातांक के रूप में प्रकट होता है। क्या उस चर को उसके पर्च से नीचे खींचने का कोई तरीका है जिससे वह गणितीय रूप से अधिक आसानी से निपट सके?
वास्तव में वहाँ है, और उत्तर घातांक के प्राकृतिक पूरक में निहित है, जो मज़ेदार और सहायक मात्राएँ हैं जिन्हें. के रूप में जाना जाता है लघुगणक.
प्रतिपादक क्या हैं?
एक प्रतिपादक, जिसे. भी कहा जाता है शक्ति, किसी संख्या के बार-बार गुणन को स्वयं व्यक्त करने का एक संकुचित तरीका है। 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- किसी भी संख्या को 1 के घात तक बढ़ाने पर उसका मान समान रहता है; 0 के घातांक वाली कोई भी संख्या 1 के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, 721 = 72; 720 = 1.
संबंध बनाने वाले घातांक नकारात्मक हो सकते हैं एक्स-n= 1/(xनहीं). उन्हें भिन्नों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे, 2(5/3). यदि भिन्नों के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो अंश और हर दोनों पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।
लघुगणक क्या हैं?
लघुगणक, या "लॉग," को एक शक्ति के अलावा किसी अन्य चीज़ के रूप में व्यक्त किए गए घातांक के रूप में माना जा सकता है। यह शायद ज्यादा मदद नहीं करता है, तो शायद एक उदाहरण या दो होगा।
अभिव्यक्ति में 103 = 1,000, संख्या 10 है आधार, और इसे तीसरी शक्ति (या .) तक बढ़ाया जा रहा है किसकी सत्ता तीन)। आप इसे इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं, "तीसरे घात तक बढ़ाए गए 10 का आधार 1,000 के बराबर है।"
लघुगणक का एक उदाहरण है लॉग10(1,000) = 3. ध्यान दें कि संख्याएं और उनका एक-दूसरे से संबंध पिछले उदाहरण की तरह ही हैं, लेकिन उन्हें इधर-उधर कर दिया गया है। शब्दों में, इसका अर्थ है, "1,000 का लघुगणक आधार १०, ३ के बराबर होता है।"
दायीं ओर की मात्रा वह शक्ति है जिसे बराबर करने के लिए 10 के आधार को ऊपर उठाना पड़ता है बहस, या लॉग का इनपुट, कोष्ठक में मान (इस मामले में 1,000)। यह मान धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि आधार - जो 10 के अलावा कोई अन्य संख्या हो सकता है, लेकिन छोड़े जाने पर 10 माना जाता है, उदाहरण के लिए, "लॉग 4" - भी हमेशा सकारात्मक होता है।
सहायक लघुगणक नियम
तो आप लॉग और एक्सपोनेंट्स के बीच आसानी से कैसे काम कर सकते हैं? लॉग के व्यवहार के बारे में कुछ नियम घातांक समस्याओं पर आपकी शुरुआत कर सकते हैं।
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(\dfrac{x}{y}) = log_{b}{x} \text{ }log_{ b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(\dfrac{1}{y}) = −log_{b}(y)
एक घातांक के लिए हल करना
उपरोक्त जानकारी के साथ, आप एक समीकरण में एक घातांक को हल करने का प्रयास करने के लिए तैयार हैं।
उदाहरण: यदि ५० = ४एक्स, एक्स क्या है?
यदि आप प्रत्येक पक्ष के आधार 10 पर लघुगणक लेते हैं और आधार की स्पष्ट पहचान को छोड़ देते हैं, तो यह लघुगणक 50 = लघुगणक 4 बन जाता हैएक्स. उपरोक्त बॉक्स से, आप जानते हैं कि लॉग 4एक्स = एक्स लॉग 4. यह आपको छोड़ देता है
लॉग 50 = x लॉग 4, या x = (लॉग 50)/(लॉग 4)।
अपने कैलकुलेटर या पसंद के इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का उपयोग करके, आप पाते हैं कि समाधान है (1.689/0.602) = 2.82.
e के साथ घातीय समीकरणों को हल करना
आधार होने पर वही नियम लागू होते हैं इ, कहा गया प्राकृतिक, जिसका मान लगभग 2.7183 है। इसके लिए आपके कैलकुलेटर पर भी एक बटन होना चाहिए। इस मान का अपना अंकन भी होता है: logइx को केवल "ln x" लिखा जाता है।
- फलन y = इएक्स मैं, ई के साथ एक चर नहीं है, लेकिन इस मान के साथ स्थिर है, सभी एक्स और वाई के लिए अपनी ऊंचाई के बराबर ढलान वाला एकमात्र कार्य है।
- लॉग के रूप में1010एक्स = एक्स, एलएन ईएक्स = x सभी x के लिए।
उदाहरण: समीकरण को हल करें 16 = ई2.7x.
ऊपर के रूप में, एलएन 16 = एलएन ई2.7x = 2.7x।
ln 16 = 2.77 = 2.7x, इसलिए x = 2/77/2.7 = 1.03.