जब आप किसी स्प्रिंग - या किसी लोचदार सामग्री को संकुचित या विस्तारित करते हैं - तो आप सहज रूप से जान जाएंगे कि क्या होने वाला है तब होता है जब आप उस बल को छोड़ते हैं जिसे आप लागू कर रहे हैं: वसंत या सामग्री अपने मूल में वापस आ जाएगी लंबाई।
यह ऐसा है जैसे वसंत में एक "पुनर्स्थापना" बल है जो यह सुनिश्चित करता है कि सामग्री पर लागू होने वाले तनाव को छोड़ने के बाद यह अपनी प्राकृतिक, असम्पीडित और गैर-विस्तारित स्थिति में वापस आ जाए। यह सहज समझ - कि किसी भी लागू बल को हटा दिए जाने के बाद एक लोचदार सामग्री अपनी संतुलन स्थिति में लौट आती है - द्वारा अधिक सटीक रूप से प्रमाणित किया जाता हैहुक का नियम.
हुक के नियम का नाम इसके निर्माता, ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी रॉबर्ट हुक के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1678 में कहा था कि "विस्तार के अनुपात में है बल।" कानून अनिवार्य रूप से एक वसंत के विस्तार और बहाल करने वाले बल के बीच एक रैखिक संबंध का वर्णन करता है जो इसे जन्म देता है बहार ह; दूसरे शब्दों में, एक स्प्रिंग को खींचने या संपीड़ित करने में दोगुना बल लगता है।
कानून, जबकि कई लोचदार सामग्री में बहुत उपयोगी है, जिसे "रैखिक लोचदार" या "हुकेन" सामग्री कहा जाता है, पर लागू नहीं होता है
हालांकि, भौतिकी में कई अनुमानों की तरह, हुक का नियम आदर्श स्प्रिंग्स और कई लोचदार सामग्री में "आनुपातिकता की सीमा" तक उपयोगी है।कानून में आनुपातिकता का प्रमुख स्थिरांक वसंत स्थिरांक है, और यह सीखना कि यह आपको क्या बताता है, और इसकी गणना करना सीखना, हुक के नियम को व्यवहार में लाने के लिए आवश्यक है।
हुक का नियम सूत्र
वसंत स्थिरांक हुक के नियम का एक महत्वपूर्ण भाग है, इसलिए स्थिरांक को समझने के लिए, आपको सबसे पहले यह जानना होगा कि हुक का नियम क्या है और यह क्या कहता है। अच्छी खबर यह एक सरल कानून है, एक रैखिक संबंध का वर्णन करता है और एक बुनियादी सीधी रेखा समीकरण का रूप रखता है। हुक के नियम का सूत्र विशेष रूप से वसंत के विस्तार में परिवर्तन से संबंधित है,एक्स, पुनर्स्थापना बल के लिए,एफ, इसमें उत्पन्न:
एफ = -केएक्स
अतिरिक्त अवधि,क, वसंत स्थिरांक है। इस स्थिरांक का मान विशिष्ट वसंत के गुणों पर निर्भर करता है, और यदि आवश्यक हो तो इसे सीधे वसंत के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि, कई मामलों में - विशेष रूप से प्रारंभिक भौतिकी कक्षाओं में - आपको बस वसंत स्थिरांक के लिए एक मूल्य दिया जाएगा ताकि आप आगे बढ़ सकें और समस्या को हल कर सकें। हुक के नियम का उपयोग करके सीधे वसंत स्थिरांक की गणना करना भी संभव है, बशर्ते आप बल के विस्तार और परिमाण को जानते हों।
वसंत स्थिरांक का परिचय,क
वसंत के विस्तार और पुनर्स्थापना बल के बीच संबंध का "आकार" वसंत स्थिरांक के मूल्य में समाहित है,क. स्प्रिंग नियतांक दर्शाता है कि किसी स्प्रिंग (या लोचदार सामग्री का एक टुकड़ा) को किसी निश्चित दूरी तक संपीड़ित या विस्तारित करने के लिए कितना बल आवश्यक है। यदि आप इस बारे में सोचते हैं कि इकाइयों के संदर्भ में इसका क्या अर्थ है, या हुक के नियम सूत्र का निरीक्षण करें, तो आप देख सकते हैं कि स्प्रिंग स्थिरांक में दूरी पर बल की इकाइयाँ हैं, इसलिए SI इकाइयों में, न्यूटन/मीटर।
स्प्रिंग स्थिरांक का मान विचाराधीन विशिष्ट स्प्रिंग (या अन्य प्रकार की लोचदार वस्तु) के गुणों से मेल खाता है। एक उच्च वसंत स्थिरांक का अर्थ है एक कठोर वसंत जो खिंचाव के लिए कठिन होता है (क्योंकि किसी दिए गए विस्थापन के लिए,एक्स, परिणामी बलएफअधिक होगा), जबकि एक शिथिल स्प्रिंग, जिसे फैलाना आसान है, में कम स्प्रिंग स्थिरांक होगा। संक्षेप में, वसंत स्थिरांक प्रश्न में वसंत के लोचदार गुणों की विशेषता है।
लोचदार संभावित ऊर्जा हुक के नियम से संबंधित एक और महत्वपूर्ण अवधारणा है, और यह ऊर्जा की विशेषता है वसंत में संग्रहीत किया जाता है जब इसे बढ़ाया या संकुचित किया जाता है जो इसे आपके रिलीज होने पर एक पुनर्स्थापना बल प्रदान करने की अनुमति देता है समाप्त। वसंत को संपीड़ित या विस्तारित करना आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली ऊर्जा को लोचदार क्षमता में बदल देता है, और जब आप इसे छोड़ दें, ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है क्योंकि वसंत अपनी संतुलन स्थिति में वापस आ जाता है।
हुक के नियम में दिशा
आपने निस्संदेह हुक के नियम में ऋण चिह्न पर ध्यान दिया होगा। हमेशा की तरह, "सकारात्मक" दिशा का चुनाव हमेशा अंततः मनमाना होता है (आप किसी भी दिशा में चलने के लिए कुल्हाड़ियों को सेट कर सकते हैं जैसे, और भौतिकी ठीक उसी तरह से काम करती है), लेकिन इस मामले में, नकारात्मक संकेत एक अनुस्मारक है कि बल एक पुनर्स्थापना है बल। "पुनर्स्थापन बल" का अर्थ है कि बल की क्रिया वसंत को उसकी संतुलन स्थिति में वापस करना है।
यदि आप वसंत के अंत की संतुलन स्थिति कहते हैं (यानी, इसकी "प्राकृतिक" स्थिति बिना किसी बल के लागू होती है)एक्स= 0, फिर वसंत को बढ़ाने से धनात्मक हो जाएगाएक्स, और बल नकारात्मक दिशा में कार्य करेगा (अर्थात, पीछे की ओरएक्स= 0). दूसरी ओर, संपीड़न के लिए एक ऋणात्मक मान से मेल खाती हैएक्स, और फिर बल फिर से सकारात्मक दिशा में कार्य करता हैएक्स= 0. वसंत के विस्थापन की दिशा चाहे जो भी हो, ऋणात्मक चिन्ह उसे विपरीत दिशा में वापस ले जाने वाले बल का वर्णन करता है।
बेशक, वसंत को में स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं हैएक्सदिशा (आप हुक के नियम को समान रूप से अच्छी तरह से लिख सकते हैंआपयाजेडइसके स्थान पर), लेकिन ज्यादातर मामलों में, कानून से जुड़ी समस्याएं एक आयाम में होती हैं, और इसे कहा जाता हैएक्ससुविधा के लिए।
लोचदार संभावित ऊर्जा समीकरण
लेख में पहले वसंत स्थिरांक के साथ पेश की गई लोचदार संभावित ऊर्जा की अवधारणा बहुत उपयोगी है यदि आप गणना करना सीखना चाहते हैंकअन्य डेटा का उपयोग करना। लोचदार स्थितिज ऊर्जा का समीकरण विस्थापन से संबंधित है,एक्स, और वसंत स्थिरांक,क, लोचदार क्षमता के लिएपी.ईएली, और यह गतिज ऊर्जा के समीकरण के समान मूल रूप लेता है:
PE_{el}=\frac{1}{2}kx^2
ऊर्जा के रूप में, लोचदार स्थितिज ऊर्जा की इकाइयाँ जूल (J) हैं।
लोचदार संभावित ऊर्जा किए गए कार्य के बराबर होती है (गर्मी या अन्य अपव्यय के नुकसान की अनदेखी करते हुए), और आप कर सकते हैं यदि आप वसंत स्थिरांक को जानते हैं, तो उस दूरी के आधार पर आसानी से इसकी गणना करें, जिस दूरी के लिए वसंत को बढ़ाया गया है बहार ह। इसी तरह, यदि आप किए गए कार्य को जानते हैं, तो आप वसंत स्थिरांक खोजने के लिए इस समीकरण को फिर से व्यवस्थित कर सकते हैंवू = पी.ईएली) वसंत को खींचने में और वसंत को कितना बढ़ाया गया था।
स्प्रिंग कॉन्स्टेंट की गणना कैसे करें
दो सरल तरीके हैं जिनका उपयोग आप वसंत स्थिरांक की गणना करने के लिए कर सकते हैं, या तो हुक के नियम का उपयोग करके, पुनर्स्थापना (या लागू) बल की ताकत और अपनी संतुलन स्थिति से वसंत का विस्थापन, या वसंत के विस्तार में किए गए कार्य के लिए आंकड़ों के साथ-साथ लोचदार संभावित ऊर्जा समीकरण का उपयोग करना और बहार ह।
हुक के नियम का उपयोग करना वसंत स्थिरांक का मान ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका है, और आप यहां तक कि एक साधारण सेटअप के माध्यम से स्वयं डेटा प्राप्त करें जहां आप एक ज्ञात द्रव्यमान को लटकाते हैं (उसके वजन के बल के साथ द्वारा दिए गएएफ = मिलीग्राम) वसंत से और वसंत के विस्तार को रिकॉर्ड करें। हुक के नियम में ऋण चिह्न को अनदेखा करना (चूंकि वसंत स्थिरांक के मान की गणना के लिए दिशा मायने नहीं रखती है) और विस्थापन से विभाजित करना,एक्स, देता है:
के = \ फ़्रेक {एफ} {x}
लोचदार संभावित ऊर्जा सूत्र का उपयोग करना एक समान सीधी प्रक्रिया है, लेकिन यह खुद को एक साधारण प्रयोग के लिए उधार नहीं देता है। हालाँकि, यदि आप लोचदार स्थितिज ऊर्जा और विस्थापन को जानते हैं, तो आप इसका उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं:
k=\frac{2PE_{el}}{x^2}
किसी भी मामले में आप एन/एम की इकाइयों के साथ एक मूल्य के साथ समाप्त हो जाएंगे।
स्प्रिंग कॉन्स्टेंट की गणना: मूल उदाहरण समस्याएं
एक स्प्रिंग जिसमें 6 N भार जोड़ा गया है, अपनी संतुलन स्थिति के सापेक्ष 30 सेमी तक फैला है। वसंत स्थिरांक क्या हैकवसंत के लिए?
इस समस्या से निपटना आसान है बशर्ते आप दी गई जानकारी के बारे में सोचें और गणना करने से पहले विस्थापन को मीटर में बदल दें। 6 N भार न्यूटन में एक संख्या है, इसलिए आपको तुरंत पता होना चाहिए कि यह एक बल है, और स्प्रिंग अपनी संतुलन स्थिति से जितनी दूरी तय करता है वह विस्थापन है,एक्स. तो सवाल आपको बताता है किएफ= 6 एन औरएक्स= ०.३ मीटर, जिसका अर्थ है कि आप वसंत स्थिरांक की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:
\begin{aligned} k&=\frac{F}{x} \\ &= \frac{6\;\text{N}}{0.3\;\text{m}} \\ &= 20\;\text {एन/एम} \end{गठबंधन}
एक अन्य उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि आप जानते हैं कि 50 J लोचदार संभावित ऊर्जा एक वसंत में आयोजित की जाती है जिसे इसकी संतुलन स्थिति से 0.5 मीटर संकुचित किया गया है। इस मामले में वसंत स्थिरांक क्या है? फिर से, दृष्टिकोण आपके पास मौजूद जानकारी की पहचान करना और समीकरण में मानों को सम्मिलित करना है। यहाँ, आप देख सकते हैं किपी.ईएली = ५० जे औरएक्स= 0.5 मीटर। तो पुन: व्यवस्थित लोचदार संभावित ऊर्जा समीकरण देता है:
\शुरू {गठबंधन} k&=\frac{2PE_{el}}{x^2} \\ &= \frac{2×50\;\text{J}}{(0.5\;\text{m})^ 2} \\ &=\frac{100\;\text{J}}{0.25 \;\text{m}^2} \\ &= 400\;\text{N/m} \end{aligned}
स्प्रिंग कॉन्स्टेंट: कार सस्पेंशन प्रॉब्लम
1800 किलोग्राम की कार में एक निलंबन प्रणाली होती है जिसे 0.1 मीटर संपीड़न से अधिक की अनुमति नहीं दी जा सकती है। निलंबन के लिए किस वसंत स्थिरांक की आवश्यकता होती है?
यह समस्या पिछले उदाहरणों से भिन्न दिखाई दे सकती है, लेकिन अंततः वसंत स्थिरांक की गणना करने की प्रक्रिया,क, बिल्कुल वैसा ही है। एकमात्र अतिरिक्त कदम कार के द्रव्यमान को a. में अनुवाद करना हैवजन(अर्थात, द्रव्यमान पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के कारण बल) प्रत्येक पहिये पर। आप जानते हैं कि कार के भार के कारण लगने वाला बल किसके द्वारा दिया जाता है?एफ = मिलीग्राम, कहां हैजी= 9.81 मी/से2, पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, इसलिए आप हुक के नियम के सूत्र को निम्नानुसार समायोजित कर सकते हैं:
\शुरू {गठबंधन} k&=\frac{F}{x} \\ &=\frac{mg}{x} \end{aligned}
हालांकि, कार के कुल द्रव्यमान का केवल एक चौथाई किसी भी पहिये पर टिका हुआ है, इसलिए प्रति स्प्रिंग द्रव्यमान 1800 किग्रा / 4 = 450 किग्रा है।
अब आपको केवल ज्ञात मानों को इनपुट करना होगा और आवश्यक स्प्रिंग्स की ताकत का पता लगाने के लिए हल करना होगा, यह देखते हुए कि अधिकतम संपीड़न, 0.1 मीटर का मान हैएक्सआपको उपयोग करने की आवश्यकता होगी:
\शुरू {गठबंधन} k&= \frac{450 \;\text{kg} × 9.81 \;\text{m/s}^2}{0.1 \;\text{m}} \\ &= 44,145 \;\ टेक्स्ट{एन/एम} \end{संरेखित}
इसे ४४.१४५ kN/m के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ kN का अर्थ है "किलोन्यूटन" या "हजारों न्यूटन।"
हुक के नियम की सीमाएं
यह फिर से जोर देना महत्वपूर्ण है कि हुक का नियम लागू नहीं होता हैप्रत्येकस्थिति, और इसे प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए आपको कानून की सीमाओं को याद रखना होगा। वसंत स्थिरांक,क, सीधी रेखा का ढाल हैहिस्सेके ग्राफ केएफबनामएक्स; दूसरे शब्दों में, बल लागू बनाम। संतुलन की स्थिति से विस्थापन।
हालांकि, विचाराधीन सामग्री के लिए "आनुपातिकता की सीमा" के बाद, संबंध अब एक सीधी रेखा वाला नहीं है, और हुक का नियम लागू होना बंद हो जाता है। इसी तरह, जब कोई सामग्री अपनी "लोचदार सीमा" तक पहुंच जाती है, तो वह वसंत की तरह प्रतिक्रिया नहीं देगी और इसके बजाय स्थायी रूप से विकृत हो जाएगी।
अंत में, हुक का नियम "आदर्श वसंत" मानता है। इस परिभाषा का एक हिस्सा यह है कि वसंत की प्रतिक्रिया रैखिक होती है, लेकिन इसे बड़े पैमाने पर और घर्षण रहित भी माना जाता है।
ये अंतिम दो सीमाएं पूरी तरह से अवास्तविक हैं, लेकिन वे आपको वसंत पर ही गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव और घर्षण के लिए ऊर्जा हानि के परिणामस्वरूप जटिलताओं से बचने में मदद करती हैं। इसका मतलब है कि हुक का नियम हमेशा सटीक होने के बजाय अनुमानित होगा - आनुपातिकता की सीमा के भीतर भी - लेकिन विचलन आमतौर पर समस्या का कारण नहीं बनते हैं जब तक कि आपको बहुत सटीक उत्तरों की आवश्यकता न हो।