भौतिक विज्ञानी वस्तुओं को घुमाने के लिए जड़ता के क्षणों की तुलना यह निर्धारित करने के लिए करते हैं कि किन लोगों को गति या धीमा करना अधिक कठिन होगा। यह वास्तविक दुनिया की स्थितियों पर लागू होता है जैसे कि यह पता लगाना कि कौन सी वस्तुएं दौड़ में सबसे तेजी से लुढ़केंगी।
किसी वस्तु के जड़त्व के क्षण को बदलने वाले कारक उसका द्रव्यमान हैं, उस द्रव्यमान को कैसे वितरित किया जाता है - उसके आकार और त्रिज्या द्वारा निर्धारित किया जाता है - और रोटेशन की धुरी जिस पर वह घूमती है।
सामान्य वस्तुओं के लिए जड़ता के क्षण
यह आरेख रोटेशन के विभिन्न अक्षों के चारों ओर घूमते हुए कई सामान्य आकृतियों के लिए जड़ता के क्षण समीकरण दिखाता है।
जड़ता के क्षणों की तुलना करना
यहां भौतिक विज्ञान की समस्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं जिनमें विभिन्न वस्तुओं की तुलना करने के लिए जड़त्व के क्षणों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।
1. निम्नलिखित में से कौन सा कताई शुरू करना सबसे आसान होगा: 0.2 मीटर त्रिज्या का 7 किलो का खोखला गोला या उसी त्रिज्या का 10 किलो का ठोस गोला?
प्रत्येक वस्तु के लिए जड़ता के क्षण ज्ञात करके प्रारंभ करें। तालिका के अनुसार, a. के लिए समीकरण
खोखला गोलाहै:मैं = 2/3mr2, और a. के लिए समीकरणठोस गोलाहैमैं = 2/5mr2.दिए गए द्रव्यमान और त्रिज्या को प्रतिस्थापित करना:
खोखला गोला: मैं = 2/3 (7 किग्रा) (0.2 मी)2 = 0.19 किलो मीटर2
ठोस क्षेत्र: मैं = 2/5 (10 किग्रा) (0.2 मी)2 = 0.16 किलो मीटर2
जड़ता का क्षण हैठोस गोले के लिए छोटा, तो यह होगाकताई शुरू करना सबसे आसान.
2. किसी पेंसिल को किस प्रकार घुमाना सबसे कठिन है: उसकी लंबाई के बारे में, उसके केंद्र के चारों ओर या सिरे के सिरे के बारे में? मान लें कि पेंसिल की लंबाई 10 सेमी (0.1 मीटर) और क्रॉस-अनुभागीय त्रिज्या 3 मिमी (0.003 मीटर) है।
इस मामले में, पेंसिल का द्रव्यमान तुलना में मायने नहीं रखता क्योंकि यह बदल नहीं रहा है।
यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से समीकरण लागू होते हैं, एक पेंसिल के आकार को एक सिलेंडर के रूप में अनुमानित करें।
फिर, जड़त्व समीकरणों के तीन आवश्यक क्षण हैं:
इसकी लंबाई के बारे में सिलेंडर(धुरी टिप से इरेज़र तक पूरी चीज़ से गुज़रती है, इसलिए त्रिज्या घूर्णन की धुरी तक जाती हैहैइसका क्रॉस-सेक्शनल त्रिज्या):
I=\frac{1}{2}mr^2=\frac{1}{2}m (0.003)^2=0.0000045m
इसके केंद्र के चारों ओर सिलेंडर(बीच में आयोजित किया जाता है, इसलिए इसके घूर्णन की त्रिज्या हैइसकी आधी लंबाई):
मैं=\frac{1}{12}mr^2=\frac{1}{12}m (0.05)^2=0.0002083m
इसके अंत के आसपास सिलेंडर(टिप या इरेज़र द्वारा धारण किया जाता है, इसलिए त्रिज्या घूर्णन की धुरी के लिए होती हैहैइसकी लंबाई):
I=\frac{1}{3}mr^2=\frac{1}{3}m (0.1)^2=0.003333m
किसी वस्तु की जड़ता का क्षण जितना अधिक होता है, उसके घूर्णन को शुरू करना (या रोकना) उतना ही कठिन होता है।चूँकि प्रत्येक मान को उसी से गुणा किया जाता हैम, भिन्न का मान r. से गुणा करने पर जितना बड़ा होगा2, जड़ता का क्षण जितना अधिक होगा। इस मामले में 0.0033333> 0.0002083> 0.0000045, तो यह हैपेंसिल को उसके सिरे पर घुमाना कठिन होता हैअन्य दो कुल्हाड़ियों की तुलना में।
3. कौन सी वस्तु सबसे पहले रैंप के तल पर पहुंचेगी यदि उन सभी का द्रव्यमान और त्रिज्या समान हो और सभी एक ही समय में ऊपर से मुक्त हों: एक घेरा, एक सिलेंडर या एक ठोस गोला? घर्षण को नजरअंदाज करें।
इस समस्या का उत्तर देने की कुंजी understanding की समझ को लागू करना हैऊर्जा संरक्षण. यदि सभी वस्तुओं का द्रव्यमान समान है और वे समान ऊंचाई से शुरू होती हैं, तो उन्हें समान मात्रा से शुरू करना चाहिएगुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा. यह हैकुल ऊर्जावे गतिज ऊर्जा में परिवर्तित होने और रैंप से नीचे जाने के लिए उपलब्ध हैं।
क्योंकि वस्तुएं रैंप पर लुढ़क जाएंगी, उन्हें अपनी प्रारंभिक संभावित ऊर्जा को दोनों में परिवर्तित करना होगाघूर्णी और रैखिक गतिज ऊर्जा.
यहाँ पकड़ है: उस कुल पाई से जितनी अधिक ऊर्जा वस्तु को ले जाती हैघूमना शुरू करो, इसके लिए कम उपलब्ध होगारेखीय गति. इसका मतकिसी वस्तु को लुढ़कना जितना आसान होता है, उतनी ही तेजी से वह रैम्प के नीचे रैखिक रूप से आगे बढ़ेगी, दौड़ जीतेगी.
फिर, क्योंकि सभी द्रव्यमान और त्रिज्या समान हैं, जड़ता समीकरण के प्रत्येक क्षण के सामने अंशों की तुलना करने से उत्तर का पता चलता है:
ठोस गोला: मैं =2/5श्री ग2
एक अक्ष के बारे में घेरा: मैं = श्रीमान2
इसकी लंबाई के बारे में ठोस सिलेंडर: मैं =1/2श्री ग2
जड़ता के सबसे छोटे से सबसे बड़े क्षण तक, और इस प्रकारनीचे तक पहुँचने के लिए सबसे पहले: गोला, बेलन, घेरा।
