घूर्णी किनेमेटिक्स: यह क्या है और यह क्यों मायने रखता है (w / समीकरण और उदाहरण)

काइनेमेटिक्स भौतिकी की एक गणितीय शाखा है जो वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए समीकरणों का उपयोग करती है (विशेषकर उनके .)प्रक्षेप पथ) बलों का जिक्र किए बिना।

यही है, आप किसी भी अज्ञात को खोजने के लिए बस विभिन्न संख्याओं को चार गतिज समीकरणों के सेट में प्लग कर सकते हैं उन समीकरणों को उस गति के पीछे भौतिकी के किसी भी ज्ञान की आवश्यकता के बिना, केवल आपके बीजगणित पर निर्भर करता है कौशल।

"कीनेमेटिक्स" को "कैनेटीक्स" और "गणित" के संयोजन के रूप में सोचें - दूसरे शब्दों में, गति का गणित।

घूर्णी किनेमेटिक्स बिल्कुल यही है, लेकिन यह विशेष रूप से क्षैतिज या लंबवत के बजाय गोलाकार पथ में चलने वाली वस्तुओं से संबंधित है। ट्रांसलेशनल मोशन की दुनिया में वस्तुओं की तरह, इन घूर्णन वस्तुओं को उनके विस्थापन, वेग और. के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है समय के साथ त्वरण, हालांकि कुछ चर आवश्यक रूप से रैखिक और कोणीय के बीच बुनियादी अंतर को समायोजित करने के लिए बदलते हैं गति।

एक ही समय में रैखिक गति और घूर्णी गति के बारे में मूल बातें सीखना वास्तव में बहुत उपयोगी है, या कम से कम प्रासंगिक चर और समीकरणों से परिचित कराया जाए। यह आप पर हावी होने के लिए नहीं है, बल्कि समानता को रेखांकित करने के लिए है।

बेशक, अंतरिक्ष में गति के इन "प्रकारों" के बारे में सीखते समय यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अनुवाद और रोटेशन परस्पर अनन्य से बहुत दूर हैं। वास्तव में, वास्तविक दुनिया में अधिकांश चलती वस्तुएं दोनों प्रकार की गति का संयोजन प्रदर्शित करती हैं, जिनमें से एक अक्सर पहली नज़र में स्पष्ट नहीं होती है।

क्योंकि "वेग" का अर्थ आमतौर पर "रैखिक वेग" और "त्वरण" का अर्थ है "रैखिक त्वरण" जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न हो, बुनियादी गति के कुछ सरल उदाहरणों की समीक्षा करना उचित है।

रैखिक गति का शाब्दिक अर्थ है गति एक ही रेखा तक सीमित है, जिसे अक्सर चर "x" दिया जाता है। प्रक्षेप्य गति की समस्याओं में x- और. दोनों शामिल हैं y-आयाम, और गुरुत्वाकर्षण एकमात्र बाहरी बल है (ध्यान दें कि इन समस्याओं को त्रि-आयामी दुनिया में घटित होने के रूप में वर्णित किया गया है, उदाहरण के लिए, "एक तोप का गोला निकाल दिया जाता है ...")।

ध्यान दें कि मासमकिसी भी प्रकार के किनेमेटिक्स समीकरणों में प्रवेश नहीं करता है, क्योंकि वस्तुओं की गति पर गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव होता है उनके द्रव्यमान से स्वतंत्र, और संवेग, जड़ता और ऊर्जा जैसी मात्राएँ के किसी भी समीकरण का हिस्सा नहीं हैं गति।

क्योंकि घूर्णी गति में वृत्ताकार पथों का अध्ययन करना शामिल है (गैर-वर्दी के साथ-साथ एक समान वृत्ताकार) गति) किसी वस्तु के विस्थापन का वर्णन करने के लिए मीटर का उपयोग करने के बजाय, आप रेडियन या डिग्री का उपयोग करते हैं बजाय।

रेडियन, सतह पर, एक अजीब इकाई है, जिसका अनुवाद 57.3 डिग्री है। लेकिन एक सर्कल (360 डिग्री) के चारों ओर एक यात्रा को 2π रेडियन के रूप में परिभाषित किया गया है, और जिन कारणों से आप देखने वाले हैं, कुछ मामलों में समस्या हल करते समय यह सुविधाजनक साबित होता है।

• का रिश्तारेड = १८० डिग्रीमाप की दोनों इकाइयों के बीच आसानी से परिवर्तित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

ऐसी समस्याएं हो सकती हैं जिनमें प्रति यूनिट समय (आरपीएम या आरपीएस) में क्रांतियों की संख्या शामिल हो। याद रखें कि प्रत्येक क्रांति 2π रेडियन या 360 डिग्री है।

ट्रांसलेशनल किनेमेटिक्स माप, या इकाइयों, सभी में घूर्णन एनालॉग होते हैं। उदाहरण के लिए, रैखिक वेग के बजाय, जो वर्णन करता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित समय अंतराल में एक गेंद एक सीधी रेखा में कितनी दूर तक लुढ़कती है, गेंद काघुमानेवालायाकोणीय वेगउस गेंद के घूमने की दर का वर्णन करता है (यह रेडियन या डिग्री प्रति सेकंड में कितना घूमता है)।

यहां ध्यान रखने वाली मुख्य बात यह है कि प्रत्येक अनुवाद इकाई का एक घूर्णी एनालॉग होता है। गणितीय और अवधारणात्मक रूप से "साझेदार" से संबंधित सीखने के लिए थोड़ा अभ्यास होता है, लेकिन अधिकांश भाग के लिए यह सरल प्रतिस्थापन की बात है।

रेखीय वेगवीकण के अनुवाद के परिमाण और दिशा दोनों को निर्दिष्ट करता है; कोणीय वेगω(यूनानी अक्षर ओमेगा) इसके एकवचन वेग का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि प्रति सेकंड रेडियन में वस्तु कितनी तेजी से घूम रहा है। इसी प्रकार, के परिवर्तन की दरω, कोणीय त्वरण, द्वारा दिया जाता हैα(अल्फा) rad/s. में².

values ​​के मानωतथाαएक ठोस वस्तु पर किसी भी बिंदु के लिए समान होते हैं चाहे वे रोटेशन की धुरी से 0.1 मीटर या 1,000 मीटर दूर मापा जाता है, क्योंकि यह केवल कोण कितना तेज़ हैθपरिवर्तन जो मायने रखता है।

हालाँकि, अधिकांश स्थितियों में स्पर्शरेखा (और इस प्रकार रैखिक) वेग और त्वरण मौजूद होते हैं जहाँ घूर्णी मात्राएँ देखी जाती हैं। कोणीय मात्राओं को गुणा करके स्पर्शरेखा मात्राओं की गणना की जाती हैआर, रोटेशन की धुरी से दूरी:वी_तो​ = ​rतथाα​​_तो​ = ​α​​आर​

अब जब कि घूर्णी और रैखिक गति के बीच माप उपमाओं को नए कोणीय शब्दों की शुरूआत का उपयोग करके दूर कर दिया गया है, इनका उपयोग फिर से लिखने के लिए किया जा सकता है घूर्णी किनेमेटिक्स के संदर्भ में चार क्लासिक ट्रांसलेशनल किनेमेटिक्स समीकरण, बस कुछ अलग चर के साथ (अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने वाले समीकरणों में अक्षर मात्रा)।

किनेमेटिक्स में चार मूलभूत समीकरणों के साथ-साथ चार बुनियादी चर भी हैं: स्थिति (एक्स​, ​आपयाθ), वेग (वीयाω), त्वरण (एयाα) और समयतो. आप कौन सा समीकरण चुनते हैं यह इस बात पर निर्भर करता है कि किन राशियों को शुरू करना अज्ञात है।

​- [रैखिक/अनुवाद संबंधी किनेमेटिक्स समीकरणों की एक तालिका डालें जो उनके घूर्णी एनालॉग्स के साथ संरेखित हों]​

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपको बताया गया है कि एक मशीन की भुजा प्रारंभिक कोणीय वेग के साथ 3ang/4 रेडियन के कोणीय विस्थापन के माध्यम से बहती हैω₀0 रेड/सेकेंड और एक अंतिम कोणीय वेगωरेड/एस. इस प्रस्ताव में कितना समय लगा?

जबकि प्रत्येक ट्रांसलेशनल समीकरण में एक घूर्णी एनालॉग होता है, सेंट्रिपेटल त्वरण के कारण रिवर्स बिल्कुल सही नहीं होता है, जो कि स्पर्शरेखा वेग का परिणाम है।वी_तोऔर घूर्णन अक्ष की ओर इंगित करता है। भले ही द्रव्यमान के केंद्र की परिक्रमा करने वाले कण की गति में कोई बदलाव न हो, यह त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि वेग वेक्टर की दिशा हमेशा बदलती रहती है।

1. एक पतली छड़, जिसे कठोर पिंड के रूप में वर्गीकृत किया गया है, जिसकी लंबाई 3 मीटर है, एक अक्ष के चारों ओर एक छोर पर घूमती है। यह आराम से समान रूप से 3π rad/s. तक गति करता है² 10 एस की अवधि में।

क) इस समय के दौरान औसत कोणीय वेग और कोणीय त्वरण क्या हैं?

रैखिक वेग के साथ, बस विभाजित करें (ω₀+​ ​ω) 2 से औसत कोणीय वेग प्राप्त करने के लिए: (0 + 3π s^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​रों^-1​.

• रेडियन एक आयामहीन इकाई है, इसलिए किनेमेटिक्स समीकरणों में, कोणीय वेग को s. के रूप में व्यक्त किया जाता है^-1.

औसत त्वरण द्वारा दिया जाता हैω=ω₀+ αt, याα= (3π एस^-1/10 एस) =0.3π से^-2​.

ख) छड़ कितने पूर्ण चक्कर लगाती है?

चूँकि औसत वेग 1.5π s. है^-1 और छड़ 10 सेकंड के लिए घूमती है, यह कुल 15π रेडियन से होकर गुजरती है। चूँकि एक चक्कर 2π रेडियन है, इसका मतलब है (15/2π) = 7.5 चक्कर (सात पूर्ण क्रांतियाँ) इस समस्या में।

ग) t = 10 s समय पर छड़ के सिरे का स्पर्शरेखा वेग क्या है?

जबसेवी_तो​ = ​r, तथाωसमय पर t = 10 3π s. है^-1, ​वी_तो= (3π एस^-1)(3 मीटर) =9π एम / एस।​

​मैंजड़ता के क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है (जिसे भी कहा जाता है)क्षेत्र का दूसरा क्षण) घूर्णी गति में, और यह कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए द्रव्यमान के अनुरूप है। इस प्रकार ऐसा प्रतीत होता है जहां द्रव्यमान रैखिक गति की दुनिया में दिखाई देगा, शायद सबसे महत्वपूर्ण रूप से कोणीय गति की गणना मेंली. यह का उत्पाद हैमैंतथा​ω​,और एक वेक्टर है जिसकी दिशा समान है the​ω​.​

​मैं = श्रीमान² एक बिंदु कण के लिए, लेकिन अन्यथा यह घूर्णन करने वाली वस्तु के आकार के साथ-साथ घूर्णन की धुरी पर भी निर्भर करता है। मूल्यों की एक आसान सूची के लिए संसाधन देखेंमैंसामान्य आकृतियों के लिए।

द्रव्यमान भिन्न होता है क्योंकि घूर्णी गतिज विज्ञान में वह मात्रा जिससे वह संबंधित है, जड़ता का क्षण, वास्तव में स्वयंशामिलएक घटक के रूप में द्रव्यमान।