किनेमेटिक्स समीकरण निरंतर त्वरण से गुजरने वाली वस्तु की गति का वर्णन करते हैं। ये समीकरण एक चलती हुई वस्तु के समय, स्थिति, वेग और त्वरण के चर से संबंधित हैं, जिससे इनमें से किसी भी चर को हल किया जा सकता है यदि अन्य ज्ञात हैं।
नीचे एक आयाम में निरंतर त्वरण गति से गुजरने वाली वस्तु का चित्रण है। चर तो समय के लिए है, स्थिति है एक्स, वेग वी और त्वरण ए. सबस्क्रिप्ट मैं तथा एफ क्रमशः "प्रारंभिक" और "अंतिम" के लिए खड़े हो जाओ। यह मान लिया है कि तो = 0 पर एक्समैं तथा वीमैं.
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गतिज समीकरण सूची
नीचे सूचीबद्ध तीन प्राथमिक गतिज समीकरण हैं जो एक आयाम में कार्य करते समय लागू होते हैं। ये समीकरण हैं:
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
गतिज समीकरणों के बारे में नोट्स
- ये समीकरण केवल एक स्थिर त्वरण के साथ काम करते हैं (जो स्थिर वेग के मामले में शून्य हो सकता है)।
- आप किस स्रोत को पढ़ते हैं, इस पर निर्भर करते हुए, अंतिम मात्राओं में सबस्क्रिप्ट नहीं हो सकती है एफ, और/या फ़ंक्शन नोटेशन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है एक्स (टी) - पढ़ें "एक्स समय के एक समारोह के रूप में" या "एक्स समय पर तो" - तथा वी (टी). ध्यान दें कि एक्स (टी) यह अर्थ नहीं एक्स से गुणा तो!
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कभी-कभी मात्रा एक्सएफ - एक्समैं लिखा है
x, जिसका अर्थ है "में परिवर्तन एक्स, "या यहाँ तक कि बस के रूप में घ, जिसका अर्थ है विस्थापन। सब बराबर हैं। स्थिति, वेग और त्वरण सदिश राशियाँ हैं, जिसका अर्थ है कि उनके साथ दिशा जुड़ी हुई है। एक आयाम में, दिशा आमतौर पर संकेतों द्वारा इंगित की जाती है - सकारात्मक मात्रा सकारात्मक दिशा में होती है और नकारात्मक मात्रा नकारात्मक दिशा में होती है। सदस्यताएँ: "0" का उपयोग प्रारंभिक स्थिति और वेग के लिए. के बजाय किया जा सकता है मैं. यह "0" का अर्थ है "एट तो = 0," और एक्स0 तथा वी0 आमतौर पर "x-naught" और "v-naught" का उच्चारण किया जाता है। * केवल एक समीकरण में समय शामिल नहीं है। गिवेन्स लिखते समय और यह निर्धारित करते समय कि किस समीकरण का उपयोग करना है, यह महत्वपूर्ण है!
एक विशेष मामला: फ्री फॉल
फ्री-फॉल मोशन हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में अकेले गुरुत्वाकर्षण के कारण तेज होने वाली वस्तु की गति है। वही गतिज समीकरण लागू होते हैं; हालाँकि, पृथ्वी की सतह के पास त्वरण मान ज्ञात है। इस त्वरण का परिमाण अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है जी, जहाँ g = 9.8 m/s2. इस त्वरण की दिशा नीचे की ओर, पृथ्वी की सतह की ओर है। (ध्यान दें कि कुछ स्रोत अनुमानित हो सकते हैं जी 10 मी/से के रूप में2, और अन्य दो दशमलव स्थानों से अधिक सटीक मान का उपयोग कर सकते हैं।)
एक आयाम में किनेमेटिक्स समस्याओं के लिए समस्या समाधान रणनीति:
स्थिति का आरेख बनाएं और एक उपयुक्त समन्वय प्रणाली चुनें। (याद करें कि एक्स, वी तथा ए सभी सदिश राशियां हैं, इसलिए एक स्पष्ट सकारात्मक दिशा निर्दिष्ट करके, संकेतों का ट्रैक रखना आसान हो जाएगा।)
ज्ञात मात्राओं की सूची लिखिए। (सावधान रहें कि कभी-कभी ज्ञात स्पष्ट नहीं होते हैं। "आराम से शुरू होता है" जैसे वाक्यांश देखें, जिसका अर्थ है कि वीमैं = 0, या "जमीन से टकराता है," जिसका अर्थ है कि एक्सएफ = 0, और इसी तरह।)
निर्धारित करें कि प्रश्न आपको किस मात्रा में खोजना चाहता है। आप किस अज्ञात के लिए हल कर रहे हैं?
उपयुक्त गतिज समीकरण चुनें। यह वह समीकरण होगा जिसमें ज्ञात मात्राओं के साथ-साथ आपकी अज्ञात मात्रा भी शामिल होगी।
अज्ञात मात्रा के लिए समीकरण को हल करें, फिर ज्ञात मानों को प्लग करें और अंतिम उत्तर की गणना करें। (इकाइयों के बारे में सावधान रहें! कभी-कभी आपको कंप्यूटिंग से पहले इकाइयों को परिवर्तित करने की आवश्यकता होगी।)
एक आयामी किनेमेटिक्स उदाहरण
उदाहरण 1: एक विज्ञापन में दावा किया गया है कि एक स्पोर्ट्स कार 2.7 सेकेंड में 0 से 60 मील प्रति घंटे की रफ्तार पकड़ सकती है। इस कार का त्वरण m/s. में कितना है2? इन 2.7 सेकंड में यह कितनी दूरी तय करती है?
समाधान:
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ज्ञात और अज्ञात मात्राएँ:
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
प्रश्न के पहले भाग में अज्ञात त्वरण को हल करने की आवश्यकता है। यहां हम समीकरण # 1 का उपयोग कर सकते हैं:
v_f=v_i+at\अर्थात् a =\frac {(v_f-v_i)} टी
इससे पहले कि हम संख्याएँ दर्ज करें, हमें 60 मील प्रति घंटे को मी/से में बदलना होगा:
६०\रद्द करें{\पाठ{ mph}}\बिग(\frac {०.४७७\पाठ{m/s}} {\रद्द करें{\पाठ{mph}}}\बिग)=२६.८\पाठ{ m/s}
तो त्वरण तब है:
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\अंडरलाइन{\बोल्ड{9.93}\text{ m/s}^2}
यह पता लगाने के लिए कि उस समय में यह कितनी दूर जाता है, हम समीकरण #2 का उपयोग कर सकते हैं:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \बार 9.93 \times 2.7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
उदाहरण 2: एक गेंद को 1.5 मीटर की ऊंचाई से 15 मीटर/सेकेंड की गति से फेंका जाता है। जमीन से टकराने पर यह कितनी तेजी से जा रहा है? जमीन पर उतरने में कितना समय लगता है?
समाधान:
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ज्ञात और अज्ञात मात्राएँ:
x_i=1.5\text{m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9.8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\ टी =?
पहले भाग को हल करने के लिए, हम समीकरण #3 का उपयोग कर सकते हैं:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\मतलब v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
सब कुछ पहले से ही सुसंगत इकाइयों में है, इसलिए हम मूल्यों में प्लग कर सकते हैं:
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\लगभग\pm16\text{ m/s}
यहां दो समाधान हैं। कौनसा सही है? हमारे आरेख से, हम देख सकते हैं कि अंतिम वेग ऋणात्मक होना चाहिए। तो जवाब है:
v_f=\अंडरलाइन{\बोल्ड{-16}\टेक्स्ट{ m/s}}
समय के लिए हल करने के लिए, हम समीकरण # 1 या समीकरण # 2 का उपयोग कर सकते हैं। चूंकि समीकरण # 1 के साथ काम करना आसान है, हम इसका उपयोग करेंगे:
v_f=v_i+at\ का अर्थ है t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\लगभग \अंडरलाइन{\bold{3.2}\text{ s }}
ध्यान दें कि इस प्रश्न के पहले भाग का उत्तर 0 m/s नहीं था। हालांकि यह सच है कि गेंद के उतरने के बाद, इसका 0 वेग होगा, यह प्रश्न जानना चाहता है कि प्रभाव से पहले उस स्प्लिट सेकेंड में यह कितनी तेजी से जा रहा है। एक बार जब गेंद जमीन से संपर्क कर लेती है, तो हमारे गतिज समीकरण लागू नहीं होते क्योंकि त्वरण स्थिर नहीं होगा।
प्रक्षेप्य गति के लिए गतिज समीकरण (दो आयाम)
एक प्रक्षेप्य एक वस्तु है जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में दो आयामों में चलती है। इसका पथ परवलय है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण ही त्वरण होता है। प्रक्षेप्य गति के लिए गतिज समीकरण ऊपर सूचीबद्ध गतिज समीकरणों से थोड़ा अलग रूप लेते हैं। हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि गति घटक जो एक दूसरे के लंबवत हैं - जैसे क्षैतिज एक्स दिशा और ऊर्ध्वाधर आप दिशा - स्वतंत्र हैं।
प्रक्षेप्य गति कीनेमेटिक्स समस्याओं के लिए समस्या समाधान रणनीति:
स्थिति का आरेख बनाएं। एक आयामी गति की तरह, यह परिदृश्य को स्केच करने और समन्वय प्रणाली को इंगित करने में सहायक होता है। लेबल का उपयोग करने के बजाय एक्स, वी तथा ए स्थिति, वेग और त्वरण के लिए, हमें गति को प्रत्येक आयाम में अलग से लेबल करने का एक तरीका चाहिए।
क्षैतिज दिशा के लिए, इसका उपयोग करना सबसे आम है एक्स पद के लिए और वीएक्स वेग के x-घटक के लिए (ध्यान दें कि इस दिशा में त्वरण 0 है, इसलिए हमें इसके लिए एक चर की आवश्यकता नहीं है।) आप दिशा, इसका उपयोग करना सबसे आम है आप पद के लिए और वीआप वेग के y-घटक के लिए। त्वरण को या तो लेबल किया जा सकता है एआप या हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है जी नकारात्मक y-दिशा में, और इसके बजाय बस इसका उपयोग करें।
समस्या को दो खंडों में विभाजित करके ज्ञात और अज्ञात मात्राओं की एक सूची लिखें: लंबवत और क्षैतिज गति। किसी भी सदिश राशि के x- और y-घटकों को खोजने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करें जो एक अक्ष के साथ झूठ नहीं बोलते हैं। इसे दो कॉलम में सूचीबद्ध करना मददगार हो सकता है:
(तालिका 1 डालें)
नोट: यदि वेग को कोण के साथ परिमाण के रूप में दिया जाता है, Ѳ, क्षैतिज के ऊपर, फिर वेक्टर अपघटन का उपयोग करें, वीएक्स= vcos (Ѳ) तथा वीआप= बनाम (Ѳ).
हम पहले से अपने तीन गतिज समीकरणों पर विचार कर सकते हैं और उन्हें क्रमशः x और y दिशाओं के अनुकूल बना सकते हैं।
एक्स दिशा:
x_f=x_i+v_xt
वाई दिशा:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2जी (y_f - y_i)
ध्यान दें कि. में त्वरण आप दिशा है -g अगर हम मान लें कि सकारात्मक है। एक आम भ्रांति है कि g = -9.8 m/s2, लेकिन यह गलत है; जी स्वयं त्वरण का परिमाण है: g = 9.8 m/s2, इसलिए हमें यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है कि त्वरण ऋणात्मक है।
उन आयामों में से एक में एक अज्ञात के लिए हल करें, और फिर दोनों दिशाओं में जो आम है उसे प्लग करें। जबकि दो आयामों में गति स्वतंत्र है, यह एक ही समय के पैमाने पर होती है, इसलिए समय चर दोनों आयामों में समान होता है। (गेंद को अपनी उर्ध्वाधर गति से गुजरने में जितना समय लगता है, वह उतना ही समय है जितना कि अपनी क्षैतिज गति से गुजरने में।)
प्रक्षेप्य गति कीनेमेटीक्स उदाहरण
उदाहरण 1: एक प्रक्षेप्य को 50 मीटर/सेकेंड के प्रारंभिक वेग के साथ 20 मीटर ऊंचाई की चट्टान से क्षैतिज रूप से लॉन्च किया जाता है। जमीन पर उतरने में कितना समय लगता है? यह चट्टान के आधार से कितनी दूर उतरता है?
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ज्ञात और अज्ञात मात्राएँ:
(तालिका 2 डालें)
हम दूसरे ऊर्ध्वाधर गति समीकरण का उपयोग करके जमीन से टकराने में लगने वाले समय का पता लगा सकते हैं:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\ का अर्थ है t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\underline{ \bold{2.02}\text{ s} }
फिर यह पता लगाने के लिए कि यह कहाँ उतरता है, एक्सएफ, हम क्षैतिज गति समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\अंडरलाइन{\बोल्ड{101}\टेक्स्ट{ s}}
उदाहरण 2: क्षैतिज के साथ 30 डिग्री के कोण पर जमीनी स्तर से 100 मीटर/सेकेंड पर एक गेंद लॉन्च की जाती है। यह कहाँ उतरता है? इसका वेग सबसे छोटा कब होता है? इस समय इसका स्थान क्या है?
(छवि 5 डालें)
ज्ञात और अज्ञात मात्राएँ:
पहले हमें वेग वेक्टर को घटकों में तोड़ने की जरूरत है:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\लगभग 86.6 \text{m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ पाठ {एम/एस}
हमारी मात्रा की तालिका तब है:
(तालिका 3 डालें)
पहले हमें यह पता लगाना होगा कि गेंद उड़ान में किस समय है। हम इसे दूसरे लंबवत समीकरण_ के साथ कर सकते हैं। ध्यान दें कि हम यह निर्धारित करने के लिए परवलय की समरूपता का उपयोग करते हैं कि अंतिम _y वेग प्रारंभिक का ऋणात्मक है:
फिर हम निर्धारित करते हैं कि यह कितनी दूर तक चलता है एक्स इस समय दिशा:
x_f=x_i+v_xt=८६.६\बार १०.२\लगभग\अंडरलाइन{\बोल्ड{८८३}\पाठ एम}
परवलयिक पथ की समरूपता का उपयोग करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि वेग सबसे छोटा है 5.1 एस, जब प्रक्षेप्य अपनी गति के चरम पर होता है और वेग का ऊर्ध्वाधर घटक 0 होता है। इस समय इसकी गति के x- और y-घटक हैं:
x_f=x_i+v_xt=86.6\गुना 5.1\लगभग\अंडरलाइन{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9.8 \गुना 5.1^2\लगभग \अंडरलाइन{\बोल्ड{128}\पाठ{एम}}
गतिज समीकरण व्युत्पत्ति
समीकरण #1: यदि त्वरण स्थिर है, तो:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
वेग के लिए हल करना, हमारे पास है:
v_f=v_i+at
समीकरण #2: औसत वेग को दो प्रकार से लिखा जा सकता है:
v_{औसत}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
अगर हम _v. की जगह लेते हैंएफ _ समीकरण #1 से व्यंजक के साथ, हम प्राप्त करते हैं:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
के लिए हल करना एक्सएफ देता है:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2
समीकरण #3: के लिए हल करके प्रारंभ करें तो समीकरण #1. में
v_f=v_i+at \का अर्थ है t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
इस व्यंजक को for. में प्लग करें तो औसत वेग संबंध में:
v_{औसत}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\मतलब \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i) )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
इस व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर यह प्राप्त होता है:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)