निहित विभेदीकरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग y = f (x) के रूप में किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
अन्तर्निहित विभेदन का उपयोग करना सीखने के लिए, हम एक सरल उदाहरण पर विधि का उपयोग कर सकते हैं और फिर कुछ और जटिल मामलों का पता लगा सकते हैं।
अन्तर्निहित विभेदन केवल विभेद है
हालांकि यह अधिक जटिल लगता है, अंतर्निहित भेदभाव सभी समान गणित और कौशल का उपयोग बुनियादी भेदभाव के रूप में करता है। हालाँकि, ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण बात यह है कि हमारा आश्रित चर अब फ़ंक्शन में ही दिखाई देता है।
xy = 1 जैसा सरल समीकरण लें। के व्युत्पन्न को खोजने के दो तरीके हैं ways आप इसके संबंध में एक्स, या डाई/डीएक्स. सबसे पहले, हम बस के लिए हल कर सकते हैं आप समीकरण में और डेरिवेटिव के लिए शक्ति नियम का उपयोग करें। ऐसा करने से प्राप्त होगा: y = 1/x। इसलिए घात नियम लागू करने से पता चलता है कि dy/dx = -1/x2.
हम इस समस्या को निहित विभेदीकरण का उपयोग करके भी कर सकते हैं। सौभाग्य से, हम पहले से ही उत्तर जानते हैं (यह वही होना चाहिए, चाहे हम इसकी गणना कैसे भी करें), इसलिए हम अपने काम की जांच कर सकते हैं!
आरंभ करने के लिए, समीकरण xy = 1 के दोनों पक्षों पर अवकलज लागू करें। तब, d/dx (xy) = d/dx (1); स्पष्ट रूप से दायां पक्ष अब 0 के बराबर है, लेकिन बाईं ओर श्रृंखला नियम की आवश्यकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हम अपने फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ले रहे हैं, आप, जबकि इसे दूसरे कारक से गुणा किया जा रहा है एक्स. इसकी गणना करने के लिए: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'। हम अभाज्य संकेतन का उपयोग के संबंध में व्युत्पन्न को इंगित करने के लिए करेंगे एक्स.
हमारे समीकरण को फिर से लिखने से पैदावार होती है: y + xy' = 0। इसे हल करने का समय आ गया है y' हमारे समीकरण में! स्पष्ट रूप से, y' = -y/x. लेकिन मूल जानकारी का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि y= 1/x, इसलिए हम इसे वापस बदल सकते हैं। एक बार जब हम ऐसा कर लेते हैं, तो हम देखते हैं कि y' = -1/x2, जैसा हमने पहले पाया था।
पाप के व्युत्पन्न का निर्धारण करने के लिए निहित अंतर (xy)
y = sin (xy) का अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम उस (d/dx) y = y' को याद करके निहित विभेदन का प्रयोग करेंगे।
सबसे पहले, अवकलज को समीकरण के दोनों पक्षों पर लागू करें: d/dx (y) = d/dx (sin (xy))। समीकरण का बायां पक्ष स्पष्ट रूप से है y', जिसे हमें हल करने की आवश्यकता होगी, लेकिन दाईं ओर को कुछ काम करने की आवश्यकता होगी; विशेष रूप से, श्रृंखला नियम और उत्पाद नियम। सबसे पहले, श्रृंखला नियम को पाप (xy) पर लागू करने की आवश्यकता है, और फिर तर्क के लिए उत्पाद नियम xy. सौभाग्य से हमने इस उत्पाद नियम की गणना पहले ही कर ली है।
इसके बाद, इसे सरल करने पर यह प्राप्त होता है: y' = cos (xy)(y + xy')।
स्पष्ट रूप से, इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है y' यह निर्धारित करने के लिए कि कैसे y' से संबंधित एक्स तथा आप.
के साथ सभी शर्तों को अलग करें y' एक तरफ: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy)।
फिर गुणनखंड करें y' प्राप्त करने के लिए: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy)।
अब हम देखते हैं कि y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy))।
आगे सरलीकरण मेरे लिए आवश्यक है, लेकिन क्योंकि हमारे फ़ंक्शन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है, y = sin (xy) में प्लगिंग करने से संभवतः एक संतोषजनक समाधान नहीं मिलेगा। इस मामले में, इन समीकरणों को प्लॉट करने के लिए अधिक जानकारी या अधिक परिष्कृत विधि उपयोगी हो सकती है।
निहित भेदभाव के लिए सामान्य कदम Step
सबसे पहले, याद रखें कि निहित भेदभाव एक चर पर निर्भर करता है जो दूसरे का कार्य करता है। आमतौर पर, हम फ़ंक्शन को y = f (x) के रूप में देखते हैं, लेकिन कोई फ़ंक्शन x = f (y) लिख सकता है। इन समस्याओं से संपर्क करते समय सावधान रहें ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि कौन सा चर दूसरे पर निर्भर है।
इसके बाद, व्युत्पन्न नियमों को ध्यान से लागू करना याद रखें। निहित विभेदन के लिए अक्सर श्रृंखला नियम, साथ ही उत्पाद नियम और भागफल नियम की आवश्यकता होगी। अंतिम उत्तर निर्धारित करने के लिए इन विधियों को सही ढंग से लागू करना आवश्यक होगा।
अंत में, वांछित व्युत्पन्न को अलग करके, और जितना संभव हो सके भावों को सरल करके हल करें।