यूक्लिडियन दूरी की गणना कैसे करें

एक आयाम के लिए यूक्लिडियन दूरी की गणना करें। एक आयाम में दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान है। गणितीय रूप से, इसे |p1 - q1|. के रूप में दिखाया गया है जहाँ p1 पहले बिंदु का पहला निर्देशांक है और q1 दूसरे बिंदु का पहला निर्देशांक है। हम इस अंतर के निरपेक्ष मान का उपयोग करते हैं क्योंकि आमतौर पर दूरी को केवल एक गैर-ऋणात्मक मान माना जाता है।

दो आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो बिंदु P और Q लें। हम निर्देशांक के साथ P का वर्णन करेंगे (p1,p2) और Q निर्देशांक के साथ (q1,q2)। अब P और Q के अंतिम बिंदुओं वाला एक रेखाखंड बनाइए। यह रेखा खंड एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाएगा। चरण 1 में प्राप्त परिणामों का विस्तार करते हुए, हम देखते हैं कि इस त्रिभुज की टाँगों की लंबाई |p1 - q1| द्वारा दी गई है। और |p2 - q2|। फिर दो बिंदुओं के बीच की दूरी को कर्ण की लंबाई के रूप में दिया जाएगा।

चरण 2 में कर्ण की लंबाई निर्धारित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें। यह प्रमेय बताता है कि c^2 = a^2 + b^2 जहां c एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है और a, b अन्य दो पैरों की लंबाई है। यह हमें c = (a^2 + b^2)^(1/2) = ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2) देता है। इसलिए दो आयामी अंतरिक्ष में 2 बिंदुओं P = (p1,p2) और Q = (q1,q2) के बीच की दूरी ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2) है।

चरण 3 के परिणामों को त्रिविमीय स्थान तक बढ़ाएँ। बिंदु P = (p1, p2, p3) और Q = (q1,q2,q3) के बीच की दूरी तब दी जा सकती है ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 + (p3-q3) ^2)^(1/2)।

चरण 4 में n आयामों में दो बिंदुओं P = (p1, p2,..., pn) और Q = (q1,q2,..., qn) के बीच की दूरी के लिए समाधान को सामान्यीकृत करें। यह सामान्य समाधान इस प्रकार दिया जा सकता है ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 +... + (पीएन-क्यूएन)^2)^(1/2)।