लोलक गति के नियम

पेंडुलम में दिलचस्प गुण होते हैं जो भौतिक विज्ञानी अन्य वस्तुओं का वर्णन करने के लिए उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, ग्रहों की कक्षा एक समान पैटर्न का अनुसरण करती है और स्विंग सेट पर झूलते हुए ऐसा महसूस हो सकता है कि आप एक पेंडुलम पर हैं। ये गुण पेंडुलम के आंदोलन को नियंत्रित करने वाले कानूनों की एक श्रृंखला से आते हैं। इन नियमों को सीखकर, आप सामान्य रूप से भौतिकी और गति के कुछ बुनियादी सिद्धांतों को समझना शुरू कर सकते हैं।

पेंडुलम की गति का वर्णन किया जा सकता है

जिसमेंθस्ट्रिंग और केंद्र के नीचे लंबवत रेखा के बीच के कोण का प्रतिनिधित्व करता है,तोसमय का प्रतिनिधित्व करता है, औरटीवह अवधि है, जो लोलक की गति के एक पूरे चक्र के घटित होने के लिए आवश्यक समय है (द्वारा मापा जाता है)1/एफ), एक पेंडुलम के लिए गति का।

​सरल आवर्त गति, या गति जो वर्णन करती है कि किसी वस्तु का वेग संतुलन से विस्थापन की मात्रा के समानुपाती कैसे होता है, का उपयोग पेंडुलम के समीकरण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। एक पेंडुलम के गोलक झूलते हुए इस बल द्वारा उस पर कार्य करते हुए गति में रखा जाता है क्योंकि यह आगे और पीछे चलता है।

•••सैयद हुसैन अथेरे

पेंडुलम आंदोलन को नियंत्रित करने वाले कानूनों ने एक महत्वपूर्ण संपत्ति की खोज की। भौतिक विज्ञानी बलों को एक ऊर्ध्वाधर और एक क्षैतिज घटक में विभाजित करते हैं। लोलक गति में,तीन बल सीधे लोलक पर कार्य करते हैं: गोलक का द्रव्यमान, गुरुत्वाकर्षण और डोरी में तनाव। द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण दोनों लंबवत नीचे की ओर कार्य करते हैं। चूंकि पेंडुलम ऊपर या नीचे नहीं जाता है, स्ट्रिंग तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण को रद्द कर देता है।

इससे पता चलता है कि पेंडुलम के द्रव्यमान का उसकी गति से कोई संबंध नहीं है, लेकिन क्षैतिज स्ट्रिंग तनाव करता है। सरल आवर्त गति वृत्तीय गति के समान होती है। आप वृत्ताकार पथ में गतिमान किसी वस्तु का वर्णन कर सकते हैं जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में दिखाया गया है, इसके संगत वृत्ताकार पथ में उसके द्वारा लिए जाने वाले कोण और त्रिज्या का निर्धारण। फिर, वृत्त के केंद्र, वस्तु की स्थिति और दोनों दिशाओं x और y में विस्थापन के बीच समकोण त्रिभुज की त्रिकोणमिति का उपयोग करके, आप समीकरण पा सकते हैंएक्स = रसिन (θ)तथावाई = आरसीओएस (θ)।​

सरल आवर्त गति में किसी वस्तु का एक-विमीय समीकरण किसके द्वारा दिया जाता है?एक्स = आर कॉस (ωt)।आप आगे स्थानापन्न कर सकते हैंएके लियेआरजिसमेंएहैआयाम, वस्तु की प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम विस्थापन।

कोणीय वेगωसमय के संबंध मेंतोइन कोणों के लिएθद्वारा दिया गया है= t. यदि आप उस समीकरण को प्रतिस्थापित करते हैं जो कोणीय वेग को आवृत्ति से संबंधित करता हैएफ​, ​ω = 2​​f, आप इस परिपत्र गति की कल्पना कर सकते हैं, फिर, एक पेंडुलम के हिस्से के रूप में आगे और पीछे झूलते हुए, तो परिणामी सरल हार्मोनिक गति समीकरण है

•••सैयद हुसैन अथेरे

पेंडुलम, वसंत पर द्रव्यमान की तरह, उदाहरण हैंसरल हार्मोनिक थरथरानवाला: एक पुनर्स्थापन बल है जो इस बात पर निर्भर करता है कि पेंडुलम कितना विस्थापित है, और उनकी गति का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता हैसरल हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण​

जिसमेंθस्ट्रिंग और केंद्र के नीचे लंबवत रेखा के बीच के कोण का प्रतिनिधित्व करता है,तोसमय का प्रतिनिधित्व करता है औरटीहैअवधि, लोलक की गति के एक पूरे चक्र के घटित होने के लिए आवश्यक समय (द्वारा मापा जाता है1/एफ), एक पेंडुलम के लिए गति का।

​θ_{मैक्स}पेंडुलम की गति के दौरान अधिकतम कोण को परिभाषित करने का एक और तरीका है और पेंडुलम के आयाम को परिभाषित करने का एक और तरीका है। इस चरण को "सरल पेंडुलम परिभाषा" खंड के तहत नीचे समझाया गया है।

एक साधारण लोलक के नियमों का एक और निहितार्थ यह है कि निरंतर लंबाई के साथ दोलन की अवधि स्ट्रिंग के अंत में वस्तु के आकार, आकार, द्रव्यमान और सामग्री से स्वतंत्र होती है। यह सरल पेंडुलम व्युत्पत्ति और परिणामी समीकरणों के माध्यम से स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

आप a. के लिए समीकरण निर्धारित कर सकते हैंसरल लोलक, परिभाषा जो एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला पर निर्भर करती है, एक पेंडुलम के लिए गति के समीकरण से शुरू होने वाले चरणों की एक श्रृंखला से। चूँकि पेंडुलम का गुरुत्वाकर्षण बल पेंडुलम की गति के बल के बराबर होता है, आप पेंडुलम द्रव्यमान के साथ न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके उन्हें एक दूसरे के बराबर सेट कर सकते हैं।म, स्ट्रिंग लंबाईली, कोणθ,गुरुत्वाकर्षण त्वरणजीऔर समय अंतरालतो​.

•••सैयद हुसैन अथेरे

आपने न्यूटन के दूसरे नियम को जड़ता के क्षण के बराबर निर्धारित कियामैं = एमआर²कुछ द्रव्यमान के लिएमऔर वृत्तीय गति की त्रिज्या (इस मामले में डोरी की लंबाई)आरगुना कोणीय त्वरण timesα​.

1. ​F = मा: न्यूटन का दूसरा नियम कहता है कि शुद्ध बलएफकिसी वस्तु पर त्वरण से गुणा की गई वस्तु के द्रव्यमान के बराबर होता है।
2. ​मा = मैं α: यह आपको गुरुत्वाकर्षण त्वरण के बल को सेट करने देता है (-एमजी पाप (θ) एल)घूर्णन के बल के बराबर
   
3. ​-एमजी पाप (θ) एल = मैं α​: आप गुरुत्वाकर्षण के कारण लंबवत बल के लिए दिशा प्राप्त कर सकते हैं (-एमजी) त्वरण की गणना के रूप मेंपाप (θ)Lअगरपाप (θ) = डी/एलकुछ क्षैतिज विस्थापन के लिएघऔर कोणθ​ दिशा का हिसाब देना।
   
4. ​-एमजी पाप (θ) एल = एमएल² α: आप स्ट्रिंग लंबाई L को त्रिज्या के रूप में उपयोग करके घूर्णन शरीर की जड़ता के क्षण के लिए समीकरण को प्रतिस्थापित करते हैं।
   
5. ​-एमजी पाप (θ) एल = -एमएल²​​घ²/डीटी: कोण के दूसरे अवकलज को समय के सापेक्ष प्रतिस्थापित करके कोणीय त्वरण का हिसाब लगाएंα.इस चरण के लिए कैलकुलस और डिफरेंशियल इक्वेशन की आवश्यकता होती है।
   
6. ​घ²/डीटी² + (जी/एल)sinθ = 0: आप इसे समीकरण के दोनों पक्षों को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त कर सकते हैं
   
7. ​घ²/डीटी² + (जी/एल)θ = 0: आप अनुमान लगा सकते हैंपाप (θ)जैसाθदोलन के बहुत छोटे कोणों पर एक साधारण लोलक के प्रयोजनों के लिए
   
8. ​(टी) =_{मैक्स}cos (टी (एल/जी)²): गति के समीकरण का यह हल है। आप इस समीकरण का दूसरा व्युत्पन्न लेकर और चरण 7 प्राप्त करने के लिए काम करके इसे सत्यापित कर सकते हैं।

एक साधारण लोलक व्युत्पत्ति बनाने के अन्य तरीके हैं। प्रत्येक चरण के पीछे के अर्थ को समझें कि वे कैसे संबंधित हैं। आप इन सिद्धांतों का उपयोग करके एक साधारण पेंडुलम आंदोलन का वर्णन कर सकते हैं, लेकिन आपको अन्य कारकों को भी ध्यान में रखना चाहिए जो सरल पेंडुलम सिद्धांत को प्रभावित कर सकते हैं।

यदि आप इस व्युत्पत्ति के परिणाम की तुलना करते हैं

एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला के समीकरण के लिएखy उन्हें एक दूसरे के बराबर रखते हुए, आप अवधि T के लिए एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

ध्यान दें कि यह समीकरण द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता हैमपेंडुलम का, आयामθ_{मैक्स}, न ही समय परतो. इसका मतलब है कि अवधि द्रव्यमान, आयाम और समय से स्वतंत्र है, लेकिन इसके बजाय, स्ट्रिंग की लंबाई पर निर्भर करती है। यह आपको पेंडुलम आंदोलन को व्यक्त करने का एक संक्षिप्त तरीका देता है।

एक अवधि के लिए समीकरण के साथ, आप प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं

और 1 सेकंड के लिए स्थानापन्न करेंटीतथा9.8 मी/से²के लियेजीप्राप्त करने के लिएएल =0.0025 मी. सरल लोलक सिद्धांत के इन समीकरणों को ध्यान में रखें, मान लें कि डोरी की लंबाई घर्षण रहित और द्रव्यमान रहित है। उन कारकों को ध्यान में रखने के लिए अधिक जटिल समीकरणों की आवश्यकता होगी।

आप लोलक को पीछे के कोण पर खींच सकते हैंθइसे आगे-पीछे झूलने दें, ताकि इसे वसंत की तरह दोलन करते हुए देखा जा सके। एक साधारण लोलक के लिए आप एक साधारण आवर्त दोलक की गति के समीकरणों का उपयोग करके इसका वर्णन कर सकते हैं। गति का समीकरण कोण और values ​​के छोटे मानों के लिए अच्छा काम करता हैआयाम, अधिकतम कोण, क्योंकि साधारण पेंडुलम मॉडल उस सन्निकटन पर निर्भर करता है किपाप (θ)​ ≈ ​θकुछ लोलक कोण के लिएθ.चूंकि मान कोण और आयाम लगभग 20 डिग्री से बड़े हो जाते हैं, इसलिए यह सन्निकटन भी काम नहीं करता है।

इसे स्वयं के लिए प्रयास करें। एक बड़े प्रारंभिक कोण के साथ झूलता एक पेंडुलमθआपको इसका वर्णन करने के लिए एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला का उपयोग करने की अनुमति देने के लिए नियमित रूप से दोलन नहीं करेगा। छोटे प्रारंभिक कोण परθ, पेंडुलम एक नियमित, दोलन गति को और अधिक आसानी से प्राप्त करता है। चूँकि एक लोलक के द्रव्यमान का उसकी गति पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, भौतिकविदों ने सिद्ध कर दिया है कि सभी लोलकों में दोलन की अवधि समान होती है। कोण - पेंडुलम के उच्चतम बिंदु पर केंद्र और रुकी हुई स्थिति पर पेंडुलम के केंद्र के बीच का कोण - 20 से कम डिग्री।

गति में एक पेंडुलम के सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, पेंडुलम अंततः कम हो जाएगा और किसके कारण रुक जाएगा डोरी और उसके बन्धन बिंदु के बीच घर्षण और साथ ही लोलक और वायु के बीच वायु प्रतिरोध के कारण इसके आसपास।

पेंडुलम गति के व्यावहारिक उदाहरणों के लिए, अवधि और वेग उपयोग की जाने वाली सामग्री के प्रकार पर निर्भर करेगा जो घर्षण और वायु प्रतिरोध के इन उदाहरणों का कारण बनेगी। यदि आप इन बलों के लिए लेखांकन के बिना सैद्धांतिक पेंडुलम दोलन व्यवहार पर गणना करते हैं, तो यह एक पेंडुलम को असीम रूप से दोलन करने के लिए जिम्मेदार होगा।

न्यूटन का पहला नियम बलों के जवाब में वस्तुओं के वेग को परिभाषित करता है। कानून कहता है कि यदि कोई वस्तु एक विशिष्ट गति से और एक सीधी रेखा में चलती है, तो वह उस गति से और एक सीधी रेखा में, असीम रूप से चलती रहेगी, जब तक कि कोई अन्य बल उस पर कार्य नहीं करता है। एक गेंद को सीधे आगे फेंकने की कल्पना करें - यदि हवा का प्रतिरोध और गुरुत्वाकर्षण उस पर कार्य नहीं करता है तो गेंद पृथ्वी के चारों ओर घूमेगी। इस नियम से पता चलता है कि चूंकि एक लोलक अगल-बगल चलता है और ऊपर और नीचे नहीं, इस पर ऊपर और नीचे की कोई ताकत नहीं है।

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग पेंडुलम पर वापस ऊपर खींचने वाले तार के बल के बराबर गुरुत्वाकर्षण बल को सेट करके पेंडुलम पर शुद्ध बल को निर्धारित करने में किया जाता है। इन समीकरणों को एक दूसरे के बराबर सेट करने से आप लोलक के लिए गति के समीकरण व्युत्पन्न कर सकते हैं।

न्यूटन का तीसरा नियम कहता है कि प्रत्येक क्रिया में समान बल की प्रतिक्रिया होती है। यह कानून पहले कानून के साथ काम करता है जिसमें दिखाया गया है कि हालांकि द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण स्ट्रिंग तनाव वेक्टर के लंबवत घटक को रद्द कर देता है, क्षैतिज घटक को कुछ भी रद्द नहीं करता है। यह कानून दर्शाता है कि एक लोलक पर कार्य करने वाले बल एक दूसरे को रद्द कर सकते हैं।

भौतिक विज्ञानी न्यूटन के पहले, दूसरे और तीसरे नियमों का उपयोग यह साबित करने के लिए करते हैं कि क्षैतिज स्ट्रिंग तनाव द्रव्यमान या गुरुत्वाकर्षण की परवाह किए बिना पेंडुलम को स्थानांतरित करता है। एक साधारण लोलक के नियम न्यूटन के गति के तीन नियमों के विचारों का अनुसरण करते हैं।