Avez-vous déjà vu un de ces oiseaux en peluche qui est capable de se tenir en équilibre sur le bout de votre doigt par son bec sans se renverser, comme par magie? Ce n'est pas du tout la magie qui permet à l'oiseau de s'équilibrer, mais la simple physique associée au centre de masse.
Comprendre la physique derrière le centre de masse vous permet non seulement de comprendre la conservation de la quantité de mouvement et d'autres physique, mais peut également informer la stabilité et la dynamique dans les sports que vous pratiquez, ainsi que vous permettre d'effectuer un équilibrage créatif actes.
Définition du centre de masse
Un objetle centre de masse, parfois aussi appelé centre de gravité, peut être considéré comme le point où la masse totale d'un objet ou d'un système peut être traitée comme une masse ponctuelle. Dans certaines situations, les forces externes peuvent être traitées comme si elles agissaient sur le centre de masse de l'objet.
Pour l'oiseau jouet en équilibre sur le bout du doigt, le centre de gravité est à son bec. Cela peut sembler faux au premier abord, c'est pourquoi l'acte d'équilibrage semble magique. En effet, pour un oiseau assis sur une branche, son centre de masse est quelque part dans son corps. Mais le jouet d'oiseau en équilibre a souvent des ailes lestées qui s'étendent vers l'extérieur et l'avant, ce qui l'amène à s'équilibrer différemment.
Le centre de masse peut être déterminé pour un seul objet - comme l'oiseau en équilibre - ou il peut être calculé pour un système de plusieurs objets, comme vous le verrez dans une section ultérieure.
Centre de masse pour un seul objet
Il y aura toujours un seul point sur un corps rigide qui est l'emplacement du centre de masse de ce corps. La position du centre de masse d'un objet dépend de la distribution de masse.
Si un objet est de densité uniforme, son centre de masse est plus facile à déterminer. Par exemple, dans un cercle de densité uniforme, le centre de masse est le centre du cercle. (Ce ne serait cependant pas le cas si le cercle était plus dense d'un côté que de l'autre).
En fait, le centre de masse sera toujours au centre géométrique de l'objet lorsque la densité est uniforme. (Ce centre géométrique est appelé lecentre de gravité.)
Si la densité n'est pas uniforme, il existe d'autres moyens de déterminer le centre de masse. Certaines de ces méthodes impliquent l'utilisation de calculs, ce qui dépasse le cadre de cet article. Mais un moyen simple de déterminer le centre de masse d'un objet rigide consiste simplement à essayer de l'équilibrer du bout des doigts. Le centre de masse sera au point d'équilibrage.
Une autre méthode, utile pour les objets planaires, est la suivante :
- Suspendez la forme à partir d'un point de bord avec un fil à plomb.
- Tracez une ligne sur la forme qui s'aligne avec le fil à plomb.
- Suspendez la forme à partir d'un point de bord différent avec un fil à plomb.
- Tracez une ligne sur la forme qui s'aligne avec le nouveau fil à plomb.
- Les deux lignes tracées doivent se croiser en un seul point.
- Ce point d'intersection unique est l'emplacement du centre de masse.
Pour certains objets, cependant, il est possible que le point d'équilibre soit en dehors des limites de l'objet lui-même. Pensez à une bague, par exemple. Le centre de masse pour une forme d'anneau est au centre, où aucune partie de l'anneau n'existe du tout.
Centre de masse d'un système de particules
La position du centre de masse pour un système de particules peut être considérée comme leur position de masse moyenne.
La même idée peut être utilisée que pour un objet rigide si vous imaginez que ce système de particules sont toutes reliées par un plan rigide et sans masse. Le centre de masse serait alors le point d'équilibre de ce système.
Pour déterminer mathématiquement le centre de masse d'un système de particules, la formule simple suivante peut être utilisée :
\vec{r} = \frac{1}{M}(m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...
OùMest la masse totale du système,mjesont les masses individuelles etrjesont leurs vecteurs de position.
Dans une dimension (pour les masses réparties le long d'une ligne droite) vous pouvez remplacerravecX.
En deux dimensions, vous pouvez trouver leX-coordonner etoui-coordonnée du centre de masse séparément comme :
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \text{ }\\ y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Exemples de calcul du centre de masse
Exemple 1:Trouver les coordonnées du centre de masse du système de particules suivant: particule de masse 0,1 kg située en (1, 2), particule de masse 0,05 kg située en (2, 4) et particule de masse 0,075 kg située en (2, 1).
Solution 1 :Appliquer la formule duX-coordonnée du centre de masse comme suit :
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0,1 + 0,05 + 0,075}(0,1(1) + 0,05(2 ) + 0,075(2))\\\texte{ }\\=0,079
Ensuite, appliquez la formule deoui-coordonnée du centre de masse comme suit :
y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0,1 + 0,05 + 0,075}(0,1(2) + 0,05(4 ) + 0,075(1))\\\texte{ }\\=2.11
L'emplacement du centre de masse est donc (0,079, 2,11).
Exemple 2 :Trouvez l'emplacement du centre de masse d'un triangle équilatéral de densité uniforme dont les sommets se trouvent aux points (0, 0), (1, 0) et (1/2, √3/2).
Solution 2 :Vous devez trouver le centre géométrique de ce triangle équilatéral de côté 1. leX-coordonnée du centre géométrique est simple - c'est simplement 1/2.
leoui-coordinate est un peu plus délicat. Il se produira à l'endroit où une ligne allant du sommet du triangle au point (0, 1/2) coupe une ligne allant de l'un des autres sommets au milieu de l'un des côtés opposés. Si vous dessinez un tel arrangement, vous vous retrouverez avec un triangle rectangle 30-60-90 dont la jambe longue est de 0,5 et la jambe courte est laoui-coordonner. La relation entre ces côtés est √3y = 1/2, donc y = √3/6, et les coordonnées du centre de masse sont (1/2, √3/6).
Mouvement du centre de masse
L'emplacement du centre de masse d'un objet ou d'un système d'objets peut être utilisé comme point de référence dans de nombreux calculs de physique.
Lorsque vous travaillez avec un système de particules en interaction, par exemple, trouver le centre de masse du système permet de comprendre la quantité de mouvement linéaire. Lorsque la quantité de mouvement linéaire est conservée, le centre de masse du système se déplacera à une vitesse constante même si les objets eux-mêmes rebondissent les uns sur les autres.
Pour un objet rigide tombant, la gravité peut être considérée comme agissant sur le centre de masse de cet objet, même si cet objet est en rotation.
Il en est de même pour les projectiles. Imaginez que vous lancez un marteau et qu'il vole à travers un arc dans les airs, il tourne bout à bout. Cela peut sembler être un mouvement complexe à modéliser au début, mais il s'avère que le centre de masse du marteau se déplace dans une belle trajectoire parabolique lisse.
Une expérience simple peut être réalisée qui le démontre en collant un petit morceau de ruban luminescent au centre de masse du marteau, puis en lançant le marteau comme décrit dans une pièce sombre. La bande lumineuse semblera se déplacer en un arc lisse, comme une balle lancée.
Une expérience simple: trouver le centre de masse d'un balai
Une expérience amusante du centre de masse que vous pouvez effectuer à la maison consiste à utiliser une technique simple pour trouver le centre de masse d'un balai. Tout ce dont vous avez besoin pour cette expérience est un balai et deux mains.
Avec vos mains relativement éloignées, tenez le balai au bout de deux doigts pointeurs. Ensuite, rapprochez lentement vos mains, en les glissant sous le balai. Au fur et à mesure que vous rapprochez vos mains, vous remarquerez peut-être qu'une main veut glisser le long du dessous du manche du balai tandis que l'autre reste en place pendant un moment avant de glisser.
Pendant tout le temps que vos mains bougent, le balai reste équilibré. Finalement, lorsque vos deux mains se rencontreront, elles se rencontreront à l'emplacement du centre de masse du balai.
Centre de masse du corps humain
Le centre de masse du corps humain est situé quelque part près du nombril (nombril). Chez les hommes, le centre de masse a tendance à être un peu plus haut car ils portent plus de masse corporelle dans le haut du corps, et chez les femmes, le centre de masse est plus bas car ils portent plus de masse dans leurs hanches.
Si vous vous tenez sur un pied, votre centre de gravité se déplacera vers le côté du pied sur lequel vous vous tenez. Vous remarquerez peut-être que vous vous penchez davantage vers ce côté. En effet, pour rester en équilibre, votre centre de masse doit rester au-dessus du pied sur lequel vous vous tenez en équilibre, sinon vous basculerez.
Si vous vous tenez avec une jambe et la hanche contre un mur et essayez de soulever votre autre jambe, vous trouverez probablement cela impossible car le mur empêche votre poids de se déplacer sur la jambe d'équilibre.
Une autre chose à essayer est de vous tenir dos au mur et vos talons touchant le mur. Essayez ensuite de vous pencher en avant et de toucher le sol sans plier les jambes. Les femmes peuvent mieux réussir dans cette tâche que les hommes parce que leur centre de masse est plus bas dans leur corps et peut finir par être encore au-dessus de leurs orteils lorsqu'elles se penchent en avant.
Centre de masse et stabilité
L'emplacement du centre de masse par rapport à la base d'un objet détermine sa stabilité. Quelque chose est considéré comme équilibré de manière stable si, lorsqu'il est légèrement incliné puis relâché, il revient ensuite à sa position d'origine au lieu de basculer davantage et de tomber.
Considérons une forme de pyramide en trois dimensions. S'il est en équilibre sur sa base, il est stable. Si vous soulevez légèrement une extrémité et la lâchez, elle retombe. Mais si vous essayez d'équilibrer la pyramide sur sa pointe, tout écart par rapport à l'équilibre parfait la fera tomber.
Vous pouvez déterminer si un objet retombera dans sa position d'origine ou basculera en regardant l'emplacement du centre de masse par rapport à la base. Une fois que le centre de gravité dépasse la base, l'objet bascule.
Si vous faites du sport, vous connaissez peut-être la position d'attente où vous vous tenez avec une position large et les genoux pliés. Cela maintient votre centre de masse bas et la base large vous rend plus stable. Réfléchissez à la difficulté avec laquelle quelqu'un devrait vous pousser à vous renverser si vous êtes dans la position d'attente vs. lorsque vous vous tenez droit, les pieds joints.
Certaines voitures ont des problèmes de retournement lorsqu'elles prennent des virages serrés. Cela est dû à l'emplacement de leur centre de masse. Si le centre de masse d'un véhicule est trop haut et que la base n'est pas assez large, il ne faut pas grand-chose pour le faire basculer. Il est toujours préférable pour la stabilité d'un véhicule d'avoir la majeure partie du poids aussi faible que possible.