"Sine" est un raccourci mathématique pour le rapport de deux côtés d'un triangle rectangle, exprimé sous forme de fraction: le côté opposé quel que soit l'angle que vous mesurez est le numérateur de la fraction, et l'hypoténuse du triangle rectangle est le dénominateur. Une fois que vous maîtrisez ce concept, il devient un élément constitutif d'une formule connue sous le nom de loi des sinus, qui peut être utilisée pour trouver angles et côtés manquants pour un triangle tant que vous connaissez au moins deux de ses angles et un côté, ou deux côtés et un angle.
Récapitulatif de la loi des sinus
La loi des sinus vous dit que le rapport d'un angle dans un triangle au côté opposé sera le même pour les trois angles d'un triangle. Ou, pour le dire autrement :
péché (A)/une = péché (B)/b = péché (C)/c, où A, B et C sont les angles du triangle, et un B et c sont les longueurs des côtés opposés à ces angles.
Ce formulaire est le plus utile pour trouver les angles manquants. Si vous utilisez la loi des sinus pour trouver la longueur manquante d'un côté du triangle, vous pouvez également l'écrire avec les sinus au dénominateur :
une/péché (A) = b/péché (B) = c/sin(C)
Trouver un angle manquant avec la loi des sinus
Imaginez que vous ayez un triangle avec un angle connu – disons que l'angle A mesure 30 degrés. Vous connaissez aussi la mesure de deux côtés du triangle: côté une, qui est l'angle opposé A, mesure 4 unités, et le côté b mesure 6 unités.
Attention au cas ambigu de la loi des sinus, qui peut se présenter si vous êtes, comme dans ce problème, compte tenu de la longueur de deux côtés et d'un angle qui n'est pas entre eux. Le cas ambigu est simplement un avertissement que dans cet ensemble spécifique de circonstances, il pourrait y avoir deux réponses possibles à choisir. Vous avez déjà trouvé une réponse possible. Pour analyser une autre réponse possible, soustrayez l'angle que vous venez de trouver de 180 degrés. Ajoutez le résultat au premier angle connu que vous aviez. Si le résultat est inférieur à 180 degrés, ce "résultat" que vous venez d'ajouter au premier angle connu est une deuxième solution possible.
Saisissez toutes les informations connues dans la première forme de la loi des sinus, qui est la meilleure pour trouver les angles manquants :
sin (30)/4 = sin (B)/6 = sin (C)/c
Ensuite, choisissez une cible; dans ce cas, trouvez la mesure de l'angle B.
Poser le problème est aussi simple que de mettre les première et deuxième expressions de cette équation égales l'une à l'autre. Pas besoin de s'inquiéter du troisième mandat maintenant. Donc, vous avez :
péché (30)/4 = péché (B)/6
Utilisez une calculatrice ou un graphique pour trouver le sinus de l'angle connu. Dans ce cas, sin (30) = 0,5, vous avez donc :
(0,5)/4 = sin (B)/6, ce qui se simplifie en :
0,125 = péché (B)/6
Multipliez chaque côté de l'équation par 6 pour isoler la mesure du sinus de l'angle inconnu. Cela vous donne :
0,75 = péché (B)
Trouvez l'inverse du sinus ou de l'arc sinus de l'angle inconnu à l'aide de votre calculatrice ou d'un tableau. Dans ce cas, le sinus inverse de 0,75 est d'environ 48,6 degrés.
Mises en garde
Trouver un camp avec la loi des sinus
Imaginez que vous avez un triangle avec des angles connus de 15 et 30 degrés (appelons-les respectivement A et B), et la longueur du côté une, qui est l'angle opposé A, mesure 3 unités de long.
Comme mentionné précédemment, les trois angles d'un triangle totalisent toujours 180 degrés. Donc, si vous connaissez déjà deux angles, vous pouvez trouver la mesure du troisième angle en soustrayant les angles connus de 180 :
180 - 15 - 30 = 135 degrés
L'angle manquant est donc de 135 degrés.
Remplissez les informations que vous connaissez déjà dans la formule de la loi des sinus, en utilisant la deuxième forme (qui est la plus simple lors du calcul d'un côté manquant) :
3/péché (15) = b/péché (30) = c/sin(135)
Choisissez de quel côté manquant vous voulez trouver la longueur. Dans ce cas, pour des raisons de commodité, trouvez la longueur du côté b.
Pour poser le problème, vous choisirez deux des relations sinusoïdales données dans la loi des sinus: celle contenant votre cible (côté b) et celui dont vous connaissez déjà toutes les informations (c'est côté une et angle A). Définissez ces deux relations sinusoïdales égales :
3/péché (15) = b/sin(30)
Résolvez maintenant pour b. Commencez par utiliser votre calculatrice ou un tableau pour trouver les valeurs de sin (15) et sin (30) et remplissez-les dans votre équation (pour cet exemple, utilisez la fraction 1/2 au lieu de 0,5), ce qui donne toi:
3/0.2588 = b/(1/2)
Notez que votre professeur vous dira jusqu'où (et si) arrondir vos valeurs de sinus. Ils pourraient également vous demander d'utiliser la valeur exacte de la fonction sinus, qui dans le cas de sin (15) est très désordonnée (√6 – √2)/4.
Ensuite, simplifiez les deux côtés de l'équation, en vous rappelant que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
11.5920 = 2_b_
Changez les côtés de l'équation pour des raisons de commodité, car les variables sont généralement répertoriées sur la gauche :
2_b_ = 11.5920
Et enfin, terminez la résolution de b. Dans ce cas, il suffit de diviser les deux membres de l'équation par 2, ce qui vous donne :
b = 5.7960
Ainsi, le côté manquant de votre triangle mesure 5.7960 unités de long. Vous pouvez tout aussi bien utiliser la même procédure pour résoudre le côté c, en fixant son terme dans la loi des sinus égal au terme pour côté une, puisque vous connaissez déjà toutes les informations de ce côté.