Imaginez que vous vous tenez au milieu d'une arène parfaitement circulaire. Vous regardez vers la foule le long des côtés de l'arène et vous apercevez votre meilleur ami dans un siège et votre professeur de mathématiques au collège quelques sections plus loin. Quelle est la distance entre eux et vous? Quelle distance devez-vous parcourir à pied pour vous rendre du siège de votre ami au siège de votre professeur? Quelles sont les mesures des angles entre vous? Ce sont toutes des questions liées aux angles au centre.
UNE angle au centre est l'angle qui se forme lorsque deux rayons sont tracés du centre du cercle à ses bords. Dans cet exemple, les deux rayons sont vos deux lignes de vue depuis vous, au centre de l'arène, vers votre ami, et votre ligne de vue vers votre professeur. L'angle qui se forme entre ces deux lignes est l'angle au centre. C'est l'angle le plus proche du centre du cercle.
Votre ami et votre professeur sont assis le long du circonférence ou les bords du cercle. Le sentier le long de l'arène qui les relie est un arc.
Trouver l'angle central à partir de la longueur et de la circonférence de l'arc
Il y a quelques équations que vous pouvez utiliser pour trouver l'angle central. Parfois, vous obtiendrez le longueur de l'arc, la distance le long de la circonférence entre deux points. (Dans l'exemple, il s'agit de la distance que vous auriez à parcourir à pied dans l'arène pour aller de votre ami à votre professeur.) La relation entre l'angle central et la longueur de l'arc est :
(longueur de l'arc) ÷ circonférence = (angle au centre) ÷ 360°
L'angle au centre sera en degrés.
Cette formule a du sens, si vous y réfléchissez. La longueur de l'arc sur la longueur totale autour du cercle (circonférence) est la même proportion que l'angle de l'arc sur l'angle total dans un cercle (360 degrés).
Pour utiliser efficacement cette équation, vous devez connaître la circonférence du cercle. Mais vous pouvez également utiliser cette formule pour trouver la longueur de l'arc si vous connaissez l'angle au centre et la circonférence. Ou, si vous avez la longueur de l'arc et l'angle au centre, vous pouvez trouver la circonférence !
Trouver l'angle central à partir de la longueur et du rayon de l'arc
Vous pouvez également utiliser le rayon du cercle et la longueur de l'arc pour trouver l'angle au centre. Appelez la mesure de l'angle au centre. Puis:
= sr, où s est la longueur de l'arc et r est le rayon. se mesure en radians.
Encore une fois, vous pouvez réorganiser cette équation en fonction des informations dont vous disposez. Vous pouvez trouver la longueur de l'arc à partir du rayon et de l'angle au centre. Ou vous pouvez trouver le rayon si vous avez l'angle central et la longueur de l'arc.
Si vous voulez la longueur de l'arc, l'équation ressemble à ceci :
s =* r, où s est la longueur de l'arc, r est le rayon et est l'angle au centre en radians.
Le théorème de l'angle central
Ajoutons une tournure à votre exemple où vous êtes dans l'arène avec votre voisin et votre professeur. Maintenant, il y a une troisième personne que vous connaissez dans l'arène: votre voisin d'à côté. Et encore une chose: ils sont derrière vous. Il faut se retourner pour les voir.
Votre voisin est à peu près en face de votre ami et de votre professeur. Du point de vue de votre voisin, il y a un angle formé par sa ligne de vue vers l'ami et sa ligne de vue vers l'enseignant. C'est ce qu'on appelle un angle inscrit. Un angle inscrit est un angle formé par trois points le long de la circonférence d'un cercle.
Le théorème de l'angle central explique la relation entre la taille de l'angle central, formé par vous, et l'angle inscrit, formé par votre voisin. le Théorème de l'angle central stipule que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit. (Cela suppose que vous utilisez les mêmes points de terminaison. Vous regardez tous les deux le professeur et l'ami, pas n'importe qui d'autre).
Voici une autre façon de l'écrire. Appelons le siège de votre ami A, le siège de votre professeur B et le siège de votre voisin C. Vous, au centre, pouvez être O.
Ainsi, pour trois points A, B et C le long de la circonférence d'un cercle et le point O au centre, l'angle au centre AOC est le double de l'angle inscrit ABC.
C'est-à-dire, AOC = 2∠ABC.
Cela a du sens. Vous êtes plus proche de l'ami et du professeur, donc pour vous, ils semblent plus éloignés (un angle plus grand). Pour votre voisin de l'autre côté du stade, ils ont l'air beaucoup plus rapprochés (un angle plus petit).
Exception au théorème de l'angle central
Maintenant, changeons les choses. Votre voisin de l'autre côté de l'arène commence à bouger! Ils ont toujours une ligne de mire vers l'ami et l'enseignant, mais les lignes et les angles ne cessent de changer à mesure que le voisin bouge. Devinez quoi: tant que le voisin reste en dehors de l'arc entre l'ami et le voisin, le théorème de l'angle central est toujours vrai !
Mais que se passe-t-il quand le voisin déménage entre l'ami et le professeur? Maintenant, votre voisin est à l'intérieur du arc mineur, la distance relativement petite entre l'ami et l'enseignant par rapport à la distance plus grande autour du reste de l'arène. Ensuite, vous atteignez une exception au théorème de l'angle central.
le exception au théorème de l'angle central indique que lorsque le point C, le voisin, est à l'intérieur de l'arc mineur, l'angle inscrit est le supplément de la moitié de l'angle central. (Rappelez-vous qu'un angle et son supplément ajouter à 180 degrés.)
Donc: angle inscrit = 180 - (angle au centre ÷ 2)
Ou alors: ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualiser
Math Open Reference a un outil pour visualiser le théorème de l'angle central et son exception. Vous pouvez faire glisser le "voisin" vers toutes les différentes parties du cercle et regarder les angles changer. Essayez-le si vous voulez une pratique visuelle ou supplémentaire !
