Dans une séquence géométrique, chaque terme est égal au terme précédent multiplié par un multiplicateur constant non nul appelé facteur commun. Les séquences géométriques peuvent avoir un nombre fixe de termes, ou elles peuvent être infinies. Dans les deux cas, les termes d'une suite géométrique peuvent rapidement devenir très grands, très négatifs ou très proches de zéro. Par rapport aux suites arithmétiques, les termes changent beaucoup plus rapidement, mais tandis que l'arithmétique infinie les séquences augmentent ou diminuent régulièrement, les séquences géométriques peuvent s'approcher de zéro, selon le commun facteur.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Une séquence géométrique est une liste ordonnée de nombres dans laquelle chaque terme est le produit du terme précédent et d'un multiplicateur fixe non nul appelé facteur commun. Chaque terme d'une suite géométrique est la moyenne géométrique des termes qui la précèdent et la suivent. Les suites géométriques infinies avec un facteur commun entre +1 et -1 approchent la limite de zéro en tant que termes sont ajoutés tandis que les séquences avec un facteur commun supérieur à +1 ou inférieur à −1 vont vers plus ou moins infini.
Comment fonctionnent les séquences géométriques
Une suite géométrique est définie par son numéro de départune, le facteur communret le nombre de termesS. La forme générale correspondante d'une suite géométrique est :
a, ar, ar^2, ar^3,..., ar^{S-1}
La formule générale du termemd'une séquence géométrique (c'est-à-dire tout terme de cette séquence) est :
a_n = ar^{n-1}
La formule récursive, qui définit un terme par rapport au terme précédent, est :
a_n = ra_{n-1}
Un exemple de séquence géométrique avec le numéro de départ 3, le facteur commun 2 et huit termes est 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. En calculant le dernier terme à l'aide de la forme générale indiquée ci-dessus, le terme est :
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
En utilisant la formule générale pour le terme 4 :
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Si vous voulez utiliser la formule récursive pour le terme 5, alors le terme 4 = 24, et un5 équivaut à:
a_5= 2 × 24 = 48
Propriétés de la séquence géométrique
Les séquences géométriques ont des propriétés particulières en ce qui concerne la moyenne géométrique. La moyenne géométrique de deux nombres est la racine carrée de leur produit. Par exemple, la moyenne géométrique de 5 et 20 est 10 car le produit 5 × 20 = 100 et la racine carrée de 100 est 10.
Dans les suites géométriques, chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et du terme qui le suit. Par exemple, dans la séquence 3, 6, 12... ci-dessus, 6 est la moyenne géométrique de 3 et 12, 12 est la moyenne géométrique de 6 et 24, et 24 est la moyenne géométrique de 12 et 48.
D'autres propriétés des suites géométriques dépendent du facteur commun. Si le facteur communrest supérieur à 1, les séquences géométriques infinies approcheront l'infini positif. Sirest compris entre 0 et 1, les séquences s'approcheront de zéro. Sirest compris entre zéro et -1, les séquences approcheront de zéro, mais les termes alterneront entre des valeurs positives et négatives. Sirest inférieur à -1, les termes tendront à la fois vers l'infini positif et négatif en alternant entre les valeurs positives et négatives.
Les séquences géométriques et leurs propriétés sont particulièrement utiles dans les modèles scientifiques et mathématiques des processus du monde réel. L'utilisation de séquences spécifiques peut aider à l'étude de populations qui croissent à un taux fixe sur des périodes de temps données ou d'investissements qui rapportent des intérêts. Les formules générales et récursives permettent de prédire des valeurs précises dans le futur en fonction du point de départ et du facteur commun.