Comment volent les avions? Pourquoi une balle courbe suit-elle un chemin si étrange? Et pourquoi devez-vous monter ledehorsde vos fenêtres lors d'un orage? Les réponses à toutes ces questions sont les mêmes: elles résultent du principe de Bernoulli.
Le principe de Bernoulli, parfois aussi appelé effet Bernoulli, est l'un des résultats les plus importants de l'étude de la dynamique des fluides, reliant la vitesse de l'écoulement du fluide à la pression du fluide. Cela peut ne pas sembler particulièrement important, mais comme le montre la vaste gamme de phénomènes qu'elle aide à expliquer, la règle simple peut en révéler beaucoup sur le comportement d'un système. La dynamique des fluides est l'étude des fluides en mouvement, il est donc logique que le principe et l'équation qui l'accompagne (l'équation de Bernoulli) reviennent assez régulièrement sur le terrain.
Apprendre le principe, l'équation qui le décrit et quelques exemples du principe de Bernoulli en action vous prépare à de nombreux problèmes que vous rencontrerez en dynamique des fluides.
Le principe de Bernoulli
Le principe de Bernoulli porte le nom de Daniel Bernoulli, le physicien et mathématicien suisse qui l'a développé. Le principe relie la pression du fluide à sa vitesse et à son élévation, et il peut s'expliquer par la conservation de l'énergie. En bref, il stipule que si la vitesse d'un fluide augmente, alors soit sa pression statique doit diminuer pour compenser, soit son énergie potentielle doit diminuer.
La relation avec la conservation de l'énergie en ressort clairement: soit la vitesse supplémentaire vient du potentiel l'énergie (c'est-à-dire l'énergie qu'il possède en raison de sa position) ou de l'énergie interne qui crée la pression du fluide.
Le principe de Bernoulli explique donc les principales raisons de l'écoulement des fluides que les physiciens doivent prendre en compte en dynamique des fluides. Soit le fluide s'écoule en raison de l'élévation (donc son énergie potentielle change), soit il s'écoule en raison de la pression différences dans les différentes parties du fluide (ainsi les fluides dans la zone à haute énergie et à haute pression se déplacent vers la basse pression zone). Le principe est un outil très puissant car il combine les raisons pour lesquelles le fluide se déplace.
Cependant, la chose la plus importante à retenir du principe est que le fluide à écoulement plus rapide a une pression plus basse. Si vous vous en souvenez, vous pourrez tirer la leçon clé du principe, et cela seul suffit à expliquer de nombreux phénomènes, dont les trois du paragraphe introductif.
L'équation de Bernoulli
L'équation de Bernoulli met le principe de Bernoulli en termes plus clairs et plus quantifiables. L'équation dit que :
P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{ constant tout au long}
IciPest la pression,ρest la densité du fluide,vest la vitesse du fluide,gest l'accélération due à la pesanteur ethest la hauteur ou la profondeur. Le premier terme de l'équation est simplement la pression, le deuxième terme est l'énergie cinétique du fluide par unité de volume et le troisième terme est l'énergie potentielle gravitationnelle par unité de volume pour le fluide. Tout cela est assimilé à une constante, vous pouvez donc voir que si vous avez la valeur à un moment donné et la valeur plus tard temps, vous pouvez définir les deux pour qu'ils soient égaux, ce qui s'avère être un outil puissant pour résoudre la dynamique des fluides problèmes:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2
Cependant, il est important de noter les limites de l'équation de Bernoulli. En particulier, il suppose qu'il y a une ligne de courant entre les points 1 et 2 (les parties étiquetées par les indices), il y a un flux constant, il y a pas de friction dans l'écoulement (due à la viscosité à l'intérieur du fluide ou entre le fluide et les parois du tuyau) et que le fluide a une constante densité. Ce n'est généralement pas le cas, mais pour un écoulement de fluide lent qui peut être décrit comme un écoulement laminaire, les approximations de l'équation sont appropriées.
Applications du principe de Bernoulli - un tube avec un étranglement
L'exemple le plus courant du principe de Bernoulli est celui d'un fluide circulant dans un tuyau horizontal, qui se rétrécit au milieu puis s'ouvre à nouveau. C'est facile à résoudre avec le principe de Bernoulli, mais vous devez également utiliser l'équation de continuité pour le résoudre, qui indique :
A_1v_1= A_2v_2
Celui-ci utilise les mêmes termes, à partUNE, qui représente la section transversale du tube, et étant donné que la densité est égale aux deux points, ces termes peuvent être ignorés pour les besoins de ce calcul. Tout d'abord, réorganisez l'équation de continuité pour donner une expression de la vitesse dans la partie rétrécie :
v_2=\frac{A_1v_1}{A_2}
Cela peut ensuite être inséré dans l'équation de Bernoulli pour résoudre la pression dans la plus petite section du tuyau :
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \\ P_1 + \frac{1}{2 } \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho \bigg(\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 + \rho gh_2
Cela peut être réorganisé pourP2, notant que dans ce cas,h1 = h2, et donc le troisième terme de chaque côté s'annule.
P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho \bigg( v_1^2 - \bigg (\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 \bigg)
En utilisant la densité de l'eau à 4 degrés Celsius,ρ= 1000kg/m3, la valeur deP1 = 100 kPa, la vitesse initiale dev1 = 1,5 m/s, et les zones deUNE1 = 5.3 × 10−4 m2 etUNE2 = 2.65 × 10−4 m2. Cela donne:
\begin{aligned} P_2 &= 10^5 \text{ Pa} + \frac{1}{2} × 1000 \text{ kg/m}^3 \bigg( (1.5 \text{ m/s})^ 2 - \bigg (\frac{5,3 × 10^{−4} \text{ m}^2 × 1,5 \text{ m/s}}{2,65 × 10^{−4} \text{ m}^2 } \bigg)^2 \bigg) \\ &= 9,66 × 10^4 \text{ Pa} \end{aligné}
Comme le prédit le principe de Bernoulli, la pression diminue lorsqu'il y a une augmentation de la vitesse du tuyau de constriction. Le calcul de l'autre partie de ce processus implique fondamentalement la même chose, sauf en sens inverse. Techniquement, il y aura une certaine perte lors de la constriction, mais pour un système simplifié où vous n'avez pas besoin de tenir compte de la viscosité, c'est un résultat acceptable.
Autres exemples du principe de Bernoulli
Quelques autres exemples du principe de Bernoulli en action peuvent aider à clarifier les concepts. Le plus connu est l'exemple qui vient de l'aérodynamique et de l'étude de la conception des ailes d'avion, ou des profils aérodynamiques (bien qu'il y ait quelques désaccords mineurs sur les détails).
La partie supérieure d'une aile d'avion est incurvée tandis que la partie inférieure est plate, et parce que le flux d'air passe d'un bord de la aile à l'autre dans des périodes de temps égales, cela conduit à une pression plus faible sur le haut de l'aile que sur le bas de l'aile aile. La différence de pression qui l'accompagne (selon le principe de Bernoulli) crée la force de portance qui donne à l'avion la portance et l'aide à décoller du sol.
Les centrales hydroélectriques dépendent également du principe de Bernoulli pour fonctionner, de deux manières. Tout d'abord, dans un barrage hydroélectrique, l'eau d'un réservoir descend dans de grands tubes appelés conduites forcées, avant de heurter une turbine à la fin. En termes d'équation de Bernoulli, l'énergie potentielle gravitationnelle diminue à mesure que l'eau descend le long du tuyau, mais dans de nombreuses conceptions, l'eau sort à lamêmela vitesse. Par l'équation, il est clair qu'il doit y avoir eu un changement de pression pour équilibrer l'équation, et en effet, ce type de turbine tire son énergie de l'énergie de pression dans le fluide.
On peut dire qu'un type de turbine plus simple à comprendre s'appelle une turbine à impulsion. Cela fonctionne en réduisant la taille du tube avant la turbine (à l'aide d'une buse), ce qui augmente la vitesse de l'eau (selon l'équation de continuité) et réduit la pression (par Bernoulli principe). Le transfert d'énergie dans ce cas provient de l'énergie cinétique de l'eau.