La différence entre la mécanique classique et la mécanique quantique est énorme. Alors qu'en mécanique classique les particules et les objets ont des positions clairement définies, en mécanique quantique (avant une mesure) un on ne peut dire que la particule a une gamme de positions possibles, qui sont décrites en termes de probabilités par l'onde une fonction.
L'équation de Schrödinger définit la fonction d'onde des systèmes de mécanique quantique, et apprendre à l'utiliser et à l'interpréter est une partie importante de tout cours de mécanique quantique. L'un des exemples les plus simples de solution à cette équation est celui d'une particule dans une boîte.
La fonction d'onde
En mécanique quantique, une particule est représentée par unfonction d'onde. Ceci est généralement désigné par la lettre grecque psi (Ψ) et cela dépend à la fois de la position et du temps, et il contient tout ce qui peut être connu sur la particule.
Le module de cette fonction au carré vous indique la probabilité que la particule se trouve à la position
Xau momentt, à condition que la fonction soit « normalisée ». Cela signifie simplement ajusté de manière à ce qu'il soit certain de se trouver àquelquepositionnerXà l'époquetlorsque les résultats à chaque emplacement sont additionnés, c'est-à-dire que la condition de normalisation dit que :\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
Vous pouvez utiliser la fonction d'onde pour calculer la valeur attendue pour la position d'une particule à la foist, où la valeur attendue signifie simplement la valeur moyenne que vous obtiendriez pourXsi vous avez répété la mesure un grand nombre de fois. Bien sûr, cela ne signifie pas que ce sera le résultat que vous obtiendriez pour une mesure donnée - c'est-à-direeffectivementaléatoire, bien que certains endroits soient généralement beaucoup plus probables que d'autres.
Il existe de nombreuses autres quantités pour lesquelles vous pouvez calculer des valeurs attendues, telles que les valeurs de quantité de mouvement et d'énergie, ainsi que de nombreuses autres « observables ».
Équation de Schrödinger
L'équation de Schrödinger est une équation différentielle qui est utilisée pour trouver la valeur de la fonction d'onde et les états propres de l'énergie de la particule. L'équation peut être dérivée de la conservation de l'énergie et des expressions de l'énergie cinétique et potentielle d'une particule. La façon la plus simple de l'écrire est :
H(Ψ) =iℏ\frac{\partialΨ}{\partial t}
Mais iciHreprésente leopérateur hamiltonien, qui en soi est une expression assez longue :
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partiel^2}{\partiel x^2} + V(x)
Ici,mest la masse, ℏ est la constante de Planck divisée par 2π, etV (X) est une fonction générale de l'énergie potentielle du système. L'hamiltonien a deux parties distinctes - le premier terme est l'énergie cinétique du système et le deuxième terme est l'énergie potentielle.
Chaque valeur observable en mécanique quantique est associée à un opérateur, et dans la version indépendante du temps de l'équation de Schrödinger, l'hamiltonien est l'opérateur énergétique. Cependant, dans la version dépendante du temps présentée ci-dessus, l'hamiltonien génère également l'évolution temporelle de la fonction d'onde.
En combinant toutes les informations contenues dans l'équation, vous pouvez décrire l'évolution de la particule dans l'espace et le temps et prédire les valeurs d'énergie possibles pour elle aussi.
L'équation de Schrödinger indépendante du temps
La partie dépendante du temps de l'équation peut être supprimée - pour décrire une situation qui n'évolue pas notablement avec le temps - en séparant la fonction d'onde en parties d'espace et de temps :Ψ(X, t) = Ψ(X) F(t). Les parties dépendantes du temps peuvent alors être annulées de l'équation, ce qui laisse la version indépendante du temps de l'équation de Schrödinger :
H (x) = E (Ψ (x))
Eest l'énergie du système. Cela a la forme exacte d'une équation aux valeurs propres, avecΨ(X) étant la fonction propre, etEétant la valeur propre, c'est pourquoi l'équation indépendante du temps est souvent appelée l'équation aux valeurs propres pour l'énergie d'un système de mécanique quantique. La fonction temps est simplement donnée par :
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
L'équation indépendante du temps est utile car elle simplifie les calculs pour de nombreuses situations où l'évolution du temps n'est pas particulièrement cruciale. C'est la forme la plus utile pour les problèmes de "particule dans une boîte" et même pour déterminer les niveaux d'énergie des électrons autour d'un atome.
Particule dans une boîte (puits carré infini)
L'une des solutions les plus simples à l'équation de Schrödinger indépendante du temps est pour une particule dans un puits carré infiniment profond (c'est-à-dire un puits de potentiel infini), ou une boîte de base unidimensionnelle longueurL. Bien sûr, ce sont des idéalisations théoriques, mais cela donne une idée de base de la façon dont vous résolvez l'équation de Schrödinger sans tenir compte de la plupart des complications qui existent dans la nature.
Avec l'énergie potentielle fixée à 0 à l'extérieur du puits où la densité de probabilité est également 0, l'équation de Schrödinger pour cette situation devient :
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E Ψ(x)
Et la solution générale pour une équation de cette forme est :
(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
Cependant, l'examen des conditions aux limites peut aider à réduire cela. PourX= 0 etX= L, c'est-à-dire les côtés de la boîte ou les parois du puits, la fonction d'onde doit aller à zéro. La fonction cosinus a une valeur de 1 lorsque l'argument est 0, donc pour que les conditions aux limites soient satisfaites, la constanteBdoit être égal à zéro. Cela laisse :
(x) = A \sin (kx)
Vous pouvez également utiliser les conditions aux limites pour définir une valeur pourk. Puisque la fonction sin va à zéro aux valeursm, où nombre quantiquem= 0, 1, 2, 3… et ainsi de suite, cela signifie quandX = L, l'équation ne fonctionnera que sik = mπ / L. Enfin, vous pouvez utiliser le fait que la fonction d'onde doit être normalisée pour trouver la valeur deUNE(intégrer dans tous les possiblesXvaleurs, c'est-à-dire de 0 àL, puis définissez le résultat égal à 1 et réorganisez), pour arriver à l'expression finale :
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
En utilisant l'équation d'origine et ce résultat, vous pouvez alors résoudre pourE, ce qui donne :
E = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
Notez que le fait quemest dans cette expression signifie que les niveaux d'énergie sontquantifié, donc ils ne peuvent pas prendrequelconquevaleur, mais seulement un ensemble discret de valeurs de niveau d'énergie spécifiques en fonction de la masse de la particule et de la longueur de la boîte.
Particule dans une boîte (puits carré fini)
Le même problème se complique un peu si le puits potentiel a une hauteur de paroi finie. Par exemple, si le potentielV (X) prend la valeurV0 à l'extérieur du puits de potentiel et 0 à l'intérieur, la fonction d'onde peut être déterminée dans les trois régions principales couvertes par le problème. Cependant, il s'agit d'un processus plus complexe, vous ne pourrez donc voir ici que les résultats plutôt que de parcourir l'ensemble du processus.
Si le puits est àX= 0 àX = Lencore une fois, pour la région oùX< 0 la solution est :
(x) = Be^{kx}
Pour la régionX > L, c'est:
(x) = Ae^{-kx}
Où
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
Pour la région à l'intérieur du puits, où 0 <X < L, la solution générale est :
Ψ(x) = C \sin (wx) + D\cos (wx)
Où
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
Vous pouvez ensuite utiliser les conditions aux limites pour déterminer les valeurs des constantesUNE, B, Cetré, notant qu'en plus d'avoir des valeurs définies aux parois du puits, la fonction d'onde et sa dérivée première doivent être continues partout, et la fonction d'onde doit être finie partout.
Dans d'autres cas, comme les boîtes peu profondes, les boîtes étroites et bien d'autres situations spécifiques, il existe des approximations et différentes solutions que vous pouvez trouver.