Le produit de deux quantités scalaires est un scalaire, et le produit d'un scalaire avec un vecteur est un vecteur, mais qu'en est-il du produit de deux vecteurs? Est-ce un scalaire ou un autre vecteur? La réponse est, cela pourrait être l'un ou l'autre !
Il existe deux façons de multiplier des vecteurs ensemble. L'une consiste à prendre leur produit scalaire, ce qui donne un scalaire, et l'autre consiste à prendre leur produit croisé, ce qui donne un autre vecteur. Le produit à utiliser dépend du scénario particulier et de la quantité que vous essayez de trouver.
leproduit scalaireest parfois appelé leproduit scalaireou alorsproduit intérieur. Géométriquement, vous pouvez considérer le produit scalaire entre deux vecteurs comme un moyen de multiplier les valeurs vectorielles qui ne comptent que les contributions de même direction.
- Remarque: les produits scalaires peuvent être négatifs ou positifs, mais ce signe n'est pas une indication de direction. Bien que dans une dimension, la direction du vecteur soit souvent indiquée par un signe, les quantités scalaires peuvent également être associées à des signes qui ne sont pas des indicateurs de direction. La dette n'est qu'un exemple parmi tant d'autres.
Définition du produit scalaire
Le produit scalaire des vecteursune = (unX, uneoui)etb = (bX, boui)dans un système de coordonnées cartésiennes standard est défini comme suit :
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Lorsque vous prenez le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même, une relation intéressante se dégage :
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
Où |une| est la grandeur (longueur) deunepar le théorème de Pythagore.
Une autre formule de produit scalaire peut être dérivée en utilisant la loi des cosinus. Cela se fait comme suit:
Considérons des vecteurs non nulsuneetbavec leur vecteur de différenceun B. Disposez les trois vecteurs pour former un triangle.
La loi des cosinus de la trigonométrie nous dit que :
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
Et en utilisant la définition du produit scalaire, nous obtenons :
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
En mettant les deux expressions égales et en simplifiant ensuite, nous obtenons :
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \annuler{|\bold{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\implique \boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\bold{b}|\cos(\theta)}
Cette formulation permet à notre intuition géométrique d'entrer en jeu. La quantité |une|cos (θ) est l'amplitude de la projection du vecteurunesur le vecteurb.
Nous pouvons donc considérer le produit scalaire comme la projection d'un vecteur sur l'autre, puis le produit de leurs valeurs. En d'autres termes, il peut être considéré comme le produit d'un vecteur avec la quantité de l'autre vecteur dans la même direction que lui-même.
Propriétés du produit scalaire
Voici plusieurs propriétés du produit scalaire qui pourraient vous être utiles :
\#\texte 1. Si } \theta = 0\text{, alors } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
C'est parce que cos (0) = 1.
\#\texte{2. Si } \theta = 180\text{, alors }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
C'est parce que cos (180) = -1.
\#\texte{3. Si } \theta = 90\text{, alors } \bold{a \cdot b} = 0
C'est parce que cos (90) = 0.
- Remarque: pour 0 <
θ
< 90, le produit scalaire sera positif, et pour 90 <
θ
< 180, le produit scalaire sera négatif.
\#\texte{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
Cela découle de l'application de la loi commutative à la définition du produit scalaire.
\#\texte{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
Preuve:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
\#\texte{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
Preuve:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ gras{b}
Comment trouver le produit scalaire
Exemple 1:En physique, travail effectué par une forceFsur un objet lorsqu'il subit un déplacementré, est défini comme:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
Où est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement.
La quantité de travail effectué par une force est une indication de combien cette force a contribué au déplacement. Si la force est dans le même sens que le déplacement (cos (θ) = 0), elle apporte sa contribution maximale. S'il est perpendiculaire au déplacement (cos(Ѳ) = 90), il n'apporte aucune contribution. Et s'il est opposé au déplacement, (cos (θ) = 180), il apporte une contribution négative.
Supposons qu'un enfant pousse un train jouet sur une voie en appliquant une force de 5 N à un angle de 25 degrés par rapport à la ligne de la voie. Combien de travail l'enfant fait-il dans le train lorsqu'il le déplace de 0,5 m ?
Solution:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0.5\text{ m}\\ \theta = 25\degré\\
En utilisant la définition de produit scalaire du travail et en insérant des valeurs, nous obtenons alors :
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{ J}}
De cet exemple concret, il devrait être encore plus clair que l'application d'une force perpendiculaire à la direction de déplacement ne fonctionne pas. Si l'enfant pousse le train à angle droit par rapport à la voie, le train ne se déplacera ni en avant ni en arrière le long de la voie. Il est également intuitif que le travail effectué par l'enfant dans le train augmente à mesure que l'angle diminue et que la force et le déplacement se rapprochent de l'alignement.
Exemple 2 :La puissance est un autre exemple de grandeur physique qui peut être calculée à l'aide d'un produit scalaire. En physique, la puissance est égale au travail divisé par le temps, mais elle peut également être écrite comme le produit scalaire de la force et de la vitesse, comme indiqué :
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\cdot v}
Oùvest la vitesse.
Prenons l'exemple précédent de l'enfant jouant avec le train. Si à la place on nous dit que la même force est appliquée provoquant le déplacement du train à 2 m/s le long de la voie, alors nous pouvons utiliser le produit scalaire pour trouver la puissance :
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9,06\text{ Watts}
Exemple 3 :Un autre exemple où les produits scalaires sont utilisés en physique est le cas du flux magnétique. Le flux magnétique est la quantité de champ magnétique traversant une zone donnée. Il se présente comme le produit scalaire du champ magnétiqueBavec la régionUNE. (La direction d'un vecteur de surface estOrdinaire, ou perpendiculaire, à la surface de la zone.)
\Phi=\bold{B\cdot A}
Supposons qu'un champ de 0,02 Tesla traverse une boucle de fil de rayon 10 cm, faisant un angle de 30 degrés avec la normale. Quel est le flux ?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0,02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0,000544\text{ Wb}
Lorsque ce flux change, soit en changeant la valeur du champ, en changeant la zone de boucle ou en changeant le angle en faisant tourner la boucle ou la source de champ, le courant sera induit dans la boucle, générant électricité!
Notez à nouveau comment l'angle est pertinent de manière intuitive. Si l'angle était de 90 degrés, cela signifierait que le champ se situerait le long du même plan que la zone et qu'aucune ligne de champ ne traverserait la boucle, ce qui n'entraînerait aucun flux. La quantité de flux augmente alors à mesure que l'angle entre le champ et la normale se rapproche de 0. Le produit scalaire nous permet de déterminer quelle quantité de champ est dans la direction normale à la surface, et contribue donc au flux.
Projection vectorielle et produit scalaire
Dans les sections précédentes, il a été mentionné que le produit scalaire peut être considéré comme un moyen de projeter un vecteur sur un autre, puis de multiplier leurs amplitudes. En tant que tel, il ne devrait pas être surprenant qu'une formule de projection vectorielle puisse être dérivée du produit scalaire.
Afin de projeter le vecteurunesur le vecteurb, on prend le produit scalaire deuneavec unvecteur unitaireen direction deb, puis multipliez ce résultat scalaire par le même vecteur unitaire.
Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur 1 qui se trouve dans une direction particulière. Le vecteur unitaire en direction du vecteurbest simplement un vecteurbdivisé par son ampleur :
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
Cette projection est donc :
\text{Projection de }\bold{a}\text{ sur }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\Gros)\gras{b}
Le produit scalaire en dimension supérieure
Tout comme les vecteurs existent dans une dimension supérieure, le produit scalaire existe également. Imaginez l'exemple de l'enfant poussant à nouveau le train. Supposons qu'elle pousse à la fois vers le bas et à un angle par rapport au côté de la piste. Dans un système de coordonnées standard, les vecteurs de force et de déplacement devraient être représentés en trois dimensions.
Dansmdimensions, le produit scalaire est défini comme suit :
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
Toutes les propriétés du produit scalaire d'avant s'appliquent toujours, et la loi des cosinus donne à nouveau la relation :
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
Où la magnitude de chaque vecteur est trouvée via ce qui suit, encore une fois cohérent avec le théorème de Pythagore :
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
Comment trouver le produit scalaire en trois dimensions
Exemple 1:Le produit scalaire est particulièrement utile pour trouver l'angle entre deux vecteurs. Par exemple, supposons que nous voulions déterminer l'angle entreune= (2, 3, 2) etb= (1, 4, 0). Même si vous esquissez ces deux vecteurs dans l'espace 3, il peut être très difficile de comprendre la géométrie. Mais les mathématiques sont assez simples, en utilisant le fait que :
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\implique \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)
Puis calculer le produit scalaire deuneetb:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
Et en calculant les magnitudes de chaque vecteur :
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
Et enfin en branchant le tout, on obtient :
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Grand(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Grand)=\boîte{34.4\degré}
Exemple 2 :Une charge positive se trouve au point de coordonnées (3, 5, 4) dans l'espace tridimensionnel. À quel point le long de la ligne pointant dans la direction du vecteurune= (6, 9, 5) le champ électrique est-il le plus grand ?
Solution: D'après notre connaissance de la relation entre l'intensité du champ électrique et la distance, nous savons que le point sur la ligne la plus proche de la charge positive se trouve l'emplacement où le champ sera le le plus fort. D'après notre connaissance des produits scalaires, nous pouvons deviner que l'utilisation de la formule de projection a du sens ici. Cette formule devrait nous donner un vecteur dont la pointe est exactement au point que nous recherchons.
Nous devons calculer :
\text{Projection de }(3, 5, 4)\text{ sur }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ a}|^2}\Grand)\bold{a}
Pour ce faire, d'abord, trouvons |une|2:
|\gras{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
Ensuite, le produit scalaire :
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
En divisant cela par |une|2 donne 83/142 = 0,585. Puis en multipliant ce scalaire parunedonne :
0.585\gras{a}=0.585 \times (6,9,5)=(3.51,5.27,2.93)
Par conséquent, le point le long de la ligne où le champ est le plus fort est (3,51, 5,27, 2,93).
