Qu'il s'agisse d'un patineur tirant dans ses bras et tournant plus vite qu'elle ou d'un chat contrôlant la vitesse à laquelle il tourne lors d'une chute pour s'assurer qu'il retombe sur ses pieds, le concept de moment d'inertie est crucial pour la physique de la rotation mouvement.
Autrement connu sous le nom d'inertie de rotation, le moment d'inertie est l'analogue rotationnel de la masse dans le deuxième des lois du mouvement de Newton, décrivant la tendance d'un objet à résister à l'accélération angulaire.
Le concept peut ne pas sembler trop intéressant au premier abord, mais en combinaison avec la loi de la conservation de l'angle moment, il peut être utilisé pour décrire de nombreux phénomènes physiques fascinants et prédire le mouvement dans un large éventail de situations.
Définition du moment d'inertie
Le moment d'inertie d'un objet décrit sa résistance à l'accélération angulaire, ce qui explique la répartition de la masse autour de son axe de rotation.
Il quantifie essentiellement à quel point il est difficile de modifier la vitesse de rotation d'un objet, que cela signifie démarrer sa rotation, l'arrêter ou modifier la vitesse d'un objet déjà en rotation.
On l'appelle parfois inertie de rotation, et il est utile de la considérer comme un analogue de la masse dans la deuxième loi de Newton :Frapporter = ma. Ici, la masse d'un objet est souvent appelée masse inertielle et décrit la résistance de l'objet au mouvement (linéaire). L'inertie de rotation fonctionne de la même manière pour le mouvement de rotation, et la définition mathématique inclut toujours la masse.
L'expression équivalente à la deuxième loi pour le mouvement de rotation se rapportecouple (τ, l'analogue rotationnel de la force) à l'accélération angulaireαet moment d'inertieje:
\tau =Je\alpha
Cependant, le même objet peut avoir plusieurs moments d'inertie, car si une grande partie de la définition concerne la distribution de la masse, elle tient également compte de l'emplacement de l'axe de rotation.
Par exemple, alors que le moment d'inertie d'une tige tournant autour de son centre estje = ML2/12 (oùMest la masse etLest la longueur de la tige), la même tige tournant autour d'une extrémité a un moment d'inertie donné parje = ML2/3.
Équations pour le moment d'inertie
Donc le moment d'inertie d'un corps dépend de sa masseM, son rayonRet son axe de rotation.
Dans certains cas,Rest dénomméré, pour la distance de l'axe de rotation, et dans d'autres (comme avec la tige dans la section précédente) il est remplacé par la longueur,L. Le symbolejeest utilisé pour le moment d'inertie, et il a des unités de kg m2.
Comme vous pouvez vous y attendre sur la base de ce que vous avez appris jusqu'à présent, il existe de nombreuses équations différentes pour le moment d'inertie, et chacune fait référence à une forme spécifique et à un axe de rotation spécifique. Dans tous les moments d'inertie, le termeM2 apparaît, bien que pour différentes formes, il y ait différentes fractions devant ce terme, et dans certains cas, il peut y avoir plusieurs termes additionnés.
leM2 composante est le moment d'inertie pour une masse ponctuelle à une distanceRà partir de l'axe de rotation, et l'équation pour un corps rigide spécifique est construite comme une somme de masses ponctuelles, ou en intégrant un nombre infini de petites masses ponctuelles sur l'objet.
Alors que dans certains cas, il peut être utile de dériver le moment d'inertie d'un objet sur la base d'une simple somme arithmétique de masses ponctuelles ou par intégrant, en pratique, il existe de nombreux résultats pour des formes et des axes de rotation courants que vous pouvez simplement utiliser sans avoir besoin de les dériver premier:
Cylindre solide (axe de symétrie) :
I = \frac{1}{2} MR^2
Cylindre plein (axe de diamètre central, ou le diamètre de la section transversale circulaire au milieu du cylindre):
I = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
Sphère solide (axe central) :
I = \frac{2}{5} MR^2
Coque sphérique mince (axe central) :
I = \frac{2}{3} MR^2
Cerceau (axe de symétrie, c'est-à-dire perpendiculairement au centre) :
I = MR^2
Cerceau (axe de diamètre, c'est-à-dire traversant le diamètre du cercle formé par le cerceau) :
I = \frac{1}{2} MR^2
Tige (axe central, perpendiculaire à la longueur de la tige) :
I = \frac{1}{12} ML^2
Tige (tournant autour de l'extrémité) :
I = \frac{1}{3} ML^2
Inertie de rotation et axe de rotation
Comprendre pourquoi il existe des équations différentes pour chaque axe de rotation est une étape clé pour saisir le concept de moment d'inertie.
Pensez à un crayon: vous pouvez le faire pivoter en le faisant tourner au milieu, par l'extrémité ou en le tordant autour de son axe central. Parce que l'inertie de rotation d'un objet dépend de la répartition de la masse autour de l'axe de rotation, chacune de ces situations est différente et nécessite une équation distincte pour la décrire.
Vous pouvez obtenir une compréhension instinctive du concept de moment d'inertie si vous mettez ce même argument à l'échelle jusqu'à un mât de drapeau de 30 pieds.
Le faire tourner d'un bout à l'autre serait très difficile - si vous pouviez le gérer - alors que faire tourner le poteau autour de son axe central serait beaucoup plus facile. C'est parce que le couple dépend fortement de la distance de l'axe de rotation, et dans les 30 pieds exemple de mât de drapeau, le faire tourner bout à bout implique chaque extrémité à 15 pieds de l'axe de rotation.
Cependant, si vous le faites tourner autour de l'axe central, tout est assez proche de l'axe. La situation ressemble beaucoup à celle de porter un objet lourd à bout de bras plutôt que de porter un objet lourd à bout de bras. en le tenant près de votre corps ou en actionnant un levier depuis l'extrémité vs. près du point d'appui.
C'est pourquoi vous avez besoin d'une équation différente pour décrire le moment d'inertie pour le même objet en fonction de l'axe de rotation. L'axe que vous choisissez affecte la distance entre les parties du corps et l'axe de rotation, même si la masse du corps reste la même.
Utilisation des équations pour le moment d'inertie
La clé pour calculer le moment d'inertie d'un corps rigide est d'apprendre à utiliser et à appliquer les équations appropriées.
Considérez le crayon de la section précédente, tourné bout à bout autour d'un point central sur toute sa longueur. Bien qu'il ne s'agisse pas d'unparfaittige (la pointe pointue casse cette forme, par exemple) elle peut être modélisée comme telle pour vous éviter d'avoir à passer par un moment complet de dérivation d'inertie pour l'objet.
Ainsi, en modélisant l'objet comme une tige, vous utiliseriez l'équation suivante pour trouver le moment d'inertie, combiné à la masse totale et à la longueur du crayon :
I = \frac{1}{12} ML^2
Un plus grand défi consiste à trouver le moment d'inertie pour les objets composites.
Par exemple, considérons deux boules reliées entre elles par une tige (que nous traiterons comme sans masse pour simplifier le problème). La première balle pèse 2 kg et est positionnée à 2 m de l'axe de rotation, et la deuxième balle pèse 5 kg et 3 m de l'axe de rotation.
Dans ce cas, vous pouvez trouver le moment d'inertie de cet objet composite en considérant chaque boule comme une masse ponctuelle et en partant de la définition de base que :
\begin{aligned} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{aligned}
Avec les indices différenciant simplement entre différents objets (c'est-à-dire la balle 1 et la balle 2). L'objet à deux boules aurait alors :
\begin{aligned} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg m}^2 \end{aligné}
Moment d'inertie et conservation du moment angulaire
Le moment angulaire (l'analogue de rotation pour le moment linéaire) est défini comme le produit de l'inertie de rotation (c'est-à-dire le moment d'inertie,je) de l'objet et sa vitesse angulaireω), qui est mesurée en degrés/s ou en rad/s.
Vous connaissez sans aucun doute la loi de conservation du moment linéaire, et le moment angulaire se conserve également de la même manière. L'équation du moment cinétiqueL) est:
L = Iω
Réfléchir à ce que cela signifie en pratique explique de nombreux phénomènes physiques, car (en l'absence d'autres forces), plus l'inertie de rotation d'un objet est élevée, plus sa vitesse angulaire est faible.
Considérez un patineur tournant à une vitesse angulaire constante avec les bras tendus, et notez que ses bras tendus augmentent le rayonRautour duquel sa masse est répartie, ce qui entraîne un plus grand moment d'inertie que si ses bras étaient près de son corps.
SiL1 est calculé avec ses bras tendus, etL2, après avoir rentré ses bras doit avoir la même valeur (car le moment cinétique est conservé), que se passe-t-il s'il diminue son moment d'inertie en rentrant ses bras? Sa vitesse angulaireωaugmente pour compenser.
Les chats effectuent des mouvements similaires pour les aider à retomber sur leurs pieds lorsqu'ils tombent.
En étirant leurs pattes et leur queue, ils augmentent leur moment d'inertie et réduisent la vitesse de leur rotation, et inversement ils peuvent rentrer leurs jambes pour diminuer leur moment d'inertie et augmenter leur vitesse de rotation. Ils utilisent ces deux stratégies – ainsi que d'autres aspects de leur « réflexe de redressement » – pour s'assurer que leurs pieds atterrissent d'abord, et vous pouvez voir des phases distinctes de recroquevillement et d'étirement dans les photographies accélérées d'un chat un atterrissage.
Moment d'inertie et énergie cinétique de rotation
Poursuivant les parallèles entre le mouvement linéaire et le mouvement de rotation, les objets ont également une énergie cinétique de rotation de la même manière qu'ils ont une énergie cinétique linéaire.
Pensez à une balle roulant sur le sol, tournant à la fois autour de son axe central et avançant de manière linéaire: l'énergie cinétique totale de la balle est la somme de son énergie cinétique linéaireEk et son énergie cinétique de rotationEpourrir. Les parallèles entre ces deux énergies sont reflétés dans les équations pour les deux, en se souvenant que l'objet d'un le moment d'inertie est l'analogue rotationnel de la masse et sa vitesse angulaire est l'analogue rotationnel du linéaire rapiditév):
E_k = \frac{1}{2}mv^2
E_{rot} = \frac{1}{2}Iω^2
Vous pouvez clairement voir que les deux équations ont exactement la même forme, avec les analogues de rotation appropriés substitués à l'équation de l'énergie cinétique de rotation.
Bien sûr, pour calculer l'énergie cinétique de rotation, vous devrez substituer l'expression appropriée au moment d'inertie de l'objet dans l'espace pourje. Considérant la balle et modélisant l'objet comme une sphère solide, l'équation dans ce cas est :
\begin{aligned} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ω^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ω^2 \end{aligné}
L'énergie cinétique totale (Etot) est la somme de celle-ci et de l'énergie cinétique de la balle, vous pouvez donc écrire :
\begin{aligned} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ω^2 \end{ aligné}
Pour une balle de 1 kg se déplaçant à une vitesse linéaire de 2 m/s, avec un rayon de 0,3 m et avec une vitesse angulaire de 2π rad/s, l'énergie totale serait :
\begin{aligned} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\text{kg} × (0,3 \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0,71 \;\text{J} \\ & = 2,71 \;\texte{J} \end{aligné}
Selon la situation, un objet peut ne posséder qu'une énergie cinétique linéaire (par exemple, une balle lâchée d'un une hauteur sans rotation) ou seulement de l'énergie cinétique de rotation (une balle qui tourne mais reste en place).
Rappelez-vous que c'estle totalénergie qui est conservée. Si un ballon est botté contre un mur sans rotation initiale et qu'il rebondit à une vitesse inférieure mais avec une rotation, ainsi que l'énergie perdu au son et à la chaleur lorsqu'il est entré en contact, une partie de l'énergie cinétique initiale a été transférée à l'énergie cinétique de rotation, et ilne peut paspeut-être aller aussi vite qu'avant de rebondir.