Un nombre irrationnel n'est pas aussi effrayant qu'il y paraît; c'est juste un nombre qui ne peut pas être exprimé comme une simple fraction ou, pour le dire autrement, un nombre irrationnel est un nombre décimal sans fin qui continue un nombre infini de places après le virgule. Vous pouvez effectuer la plupart des opérations sur des nombres irrationnels comme vous le feriez avec des nombres rationnels, mais lorsqu'il s'agit de prendre des racines carrées, vous devrez apprendre à approximer la valeur.
Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel ?
Alors, qu'est-ce qu'un nombre irrationnel, de toute façon? Vous connaissez peut-être déjà deux nombres irrationnels très connus: π ou « pi », qui est presque toujours abrégé en 3,14 mais continue en fait à l'infini à droite de la virgule décimale; et "e", alias le nombre d'Euler, qui est généralement abrégé en 2,71828 mais continue également à l'infini à droite de la virgule décimale.
Mais il y a beaucoup plus de nombres irrationnels, et voici un moyen facile d'en repérer certains: Si le nombre sous un signe racine carrée n'est pas un carré parfait, alors cette racine carrée est un irrationnel numéro.
C'est une bouchée terriblement grande, alors voici un exemple pour que ce soit clair. Il est également utile de se rappeler qu'un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier :
8 est-il un nombre irrationnel ?Si vous avez mémorisé vos carrés parfaits ou si vous prenez le temps de les rechercher, vous saurez que
\sqrt{4} = 2 \text{ et } \sqrt{9} = 3
Puisque √8 est entre ces deux nombres, mais qu'il n'y a pas d'entier entre 2 et 3 pour en être la racine, √8 est irrationnel.
Prendre la racine carrée d'un nombre irrationnel
Lorsqu'il s'agit de calculer la racine carrée d'un nombre irrationnel, vous avez deux choix. Soit mettre le nombre irrationnel dans une calculatrice ou une calculatrice de racine carrée en ligne (voir Ressources), auquel cas la calculatrice vous renverra une valeur approximative - ou vous pouvez utiliser un processus en quatre étapes pour estimer la valeur toi-même.
Exemple 1:Estimez la valeur du nombre irrationnel 8.
Trouvez les carrés parfaits qui seraient de chaque côté de √8 sur la droite numérique. Dans ce cas, 4 = 2 et √9 = 3. Choisissez celui qui est le plus proche de votre nombre cible. Puisque 8 est beaucoup plus proche de 9 que de 4, choisissez
\sqrt{9} = 3
Ensuite, divisez le nombre dont vous voulez la racine – 8 – par votre estimation. En continuant l'exemple, vous avez :
\frac{8}{3} = 2,67
Maintenant, trouvez la moyenne du résultat de l'étape 2 avec le diviseur de l'étape 2. Ici, cela signifie une moyenne de 3 et 2,67. Additionnez d'abord les deux nombres, puis divisez par deux :
3 + 2.67 = 5.6667
(Il s'agit en fait de la décimale répétée 5.6666666666, mais elle a été arrondie à quatre décimales par souci de concision.)
\frac{5.6667}{2} = 2.83335
Le résultat de l'étape 3 n'est toujours pas exact, mais il se rapproche. Répétez les étapes 2 et 3 au besoin, en utilisant le résultat de l'étape 3 comme nouveau diviseur à l'étape 2 à chaque fois.
Pour continuer l'exemple, vous diviseriez 8 par le résultat de l'étape 3 (2.83335), ce qui vous donne :
\frac{8}{2.83335} = 2.8235
(Encore une fois, arrondissez à quatre décimales par souci de concision.)
Vous feriez alors la moyenne du résultat de votre division avec le diviseur, ce qui vous donne :
2,83335 + 2,8235 = 5,65685 \\ \,\\ \frac{5,65685}{2} = 2,828425
Vous pouvez continuer ce processus, en répétant les étapes 2 et 3 au besoin, jusqu'à ce que la réponse soit aussi exacte que nécessaire.
Qu'en est-il des racines carrées irrationnelles ?
Parfois, au lieu de trouver la racine carrée d'un nombre irrationnel, vous devez traiter des nombres irrationnels qui sont exprimés sous forme de racine carrée - l'un des plus célèbres que vous découvrirez est √2.
Il n'y a pas grand-chose que vous puissiez faire avec 2, à part approximer sa valeur comme décrit ci-dessus. Mais si vous obtenez un nombre irrationnel plus grand sous forme de racine carrée, vous pouvez parfois utiliser le fait que
\sqrt{cd} = \sqrt{c} × \sqrt{d}
réécrire la réponse sous une forme plus simple.
Considérons la racine carrée irrationnelle √32. Bien qu'il n'ait pas de racine principale (c'est-à-dire une racine entière non négative), vous pouvez le factoriser dans quelque chose avec une racine principale familière :
\sqrt{32} = \sqrt{16} × \sqrt{2}
Vous ne pouvez toujours pas faire grand-chose avec √2, mais √16 = 4, vous pouvez donc aller plus loin et l'écrire sous la forme
\sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Bien que vous n'ayez pas complètement éliminé le signe radical, vous avez simplifié ce nombre irrationnel tout en préservant sa valeur exacte.