Imaginez que vous maniez un canon, dans le but d'abattre les murs d'un château ennemi afin que votre armée puisse faire irruption et revendiquer la victoire. Si vous savez à quelle vitesse la balle se déplace lorsqu'elle quitte le canon et à quelle distance se trouvent les murs, à quel angle de lancement avez-vous besoin de tirer le canon pour réussir à toucher les murs ?
Ceci est un exemple de problème de mouvement de projectile, et vous pouvez résoudre ce problème et de nombreux problèmes similaires en utilisant les équations d'accélération constante de la cinématique et de l'algèbre de base.
Mouvement d'un projectileC'est ainsi que les physiciens décrivent le mouvement bidimensionnel où la seule accélération que subit l'objet en question est l'accélération descendante constante due à la gravité.
A la surface de la Terre, l'accélération constanteuneest égal àg= 9,8 m/s2, et un objet subissant un mouvement de projectile est enchute libreavec cela comme seule source d'accélération. Dans la plupart des cas, il prendra la trajectoire d'une parabole, de sorte que le mouvement aura à la fois une composante horizontale et une composante verticale. Bien que cela aurait un effet (limité) dans la vie réelle, heureusement, la plupart des problèmes de mouvement des projectiles en physique au lycée ignorent l'effet de la résistance de l'air.
Vous pouvez résoudre les problèmes de mouvement de projectile en utilisant la valeur deget quelques autres informations de base sur la situation actuelle, telles que la vitesse initiale du projectile et la direction dans laquelle il se déplace. Apprendre à résoudre ces problèmes est essentiel pour réussir la plupart des cours d'introduction à la physique, et il vous présente également les concepts et les techniques les plus importants dont vous aurez besoin dans les cours ultérieurs.
Équations de mouvement du projectile
Les équations pour le mouvement du projectile sont les équations d'accélération constante de la cinématique, car l'accélération de la gravité est la seule source d'accélération que vous devez prendre en compte. Les quatre équations principales dont vous aurez besoin pour résoudre tout problème de mouvement de projectile sont :
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2as
Ici,vreprésente la vitesse,v0 est la vitesse initiale,uneest l'accélération (qui est égale à l'accélération descendante degdans tous les problèmes de mouvement de projectile),sest le déplacement (depuis la position initiale) et comme toujours vous avez le temps,t.
Ces équations ne sont techniquement que pour une dimension, et en réalité elles pourraient être représentées par des quantités vectorielles (y compris la vitessev, Vitesse initialev0 et ainsi de suite), mais en pratique, vous pouvez simplement utiliser ces versions séparément, une fois dans leX-direction et une fois dans leoui-direction (et si vous avez déjà eu un problème en trois dimensions, dans lez-direction aussi).
Il est important de se rappeler que ce sontutilisé uniquement pour une accélération constante, ce qui les rend parfaits pour décrire des situations où l'influence de la gravité est la seule l'accélération, mais ne convient pas à de nombreuses situations du monde réel où des forces supplémentaires doivent être pris en considération.
Pour les situations de base, c'est tout ce dont vous aurez besoin pour décrire le mouvement d'un objet, mais si nécessaire, vous pouvez incorporer d'autres facteurs, tels que la hauteur à partir de laquelle le projectile a été lancé ou même les résoudre pour le point le plus élevé du projectile sur son chemin.
Résoudre les problèmes de mouvement des projectiles
Maintenant que vous avez vu les quatre versions de la formule de mouvement du projectile que vous devrez utiliser pour résoudre des problèmes, vous pouvez commencer à réfléchir à la stratégie que vous utilisez pour résoudre un mouvement de projectile problème.
L'approche de base consiste à diviser le problème en deux parties: une pour le mouvement horizontal et une pour le mouvement vertical. C'est ce qu'on appelle techniquement la composante horizontale et la composante verticale, et chacune a un ensemble correspondant de grandeurs, telles que la vitesse horizontale, la vitesse verticale, le déplacement horizontal, le déplacement vertical et bientôt.
Avec cette approche, vous pouvez utiliser les équations cinématiques, en notant que le tempstest la même pour les composantes horizontales et verticales, mais des choses comme la vitesse initiale auront des composantes différentes pour la vitesse verticale initiale et la vitesse horizontale initiale.
La chose cruciale à comprendre est que pour le mouvement bidimensionnel,quelconquel'angle de mouvement peut être décomposé en une composante horizontale et une composante verticale, mais lorsque vous faites cela, il y aura une version horizontale de l'équation en question et une verticale version.
Négliger les effets de la résistance de l'air simplifie énormément les problèmes de mouvement des projectiles car la direction horizontale n'a jamais de l'accélération dans un problème de mouvement de projectile (chute libre), puisque l'influence de la gravité n'agit que verticalement (c'est-à-dire vers la surface de la Terre).
Cela signifie que la composante de vitesse horizontale n'est qu'une vitesse constante et que le mouvement ne s'arrête que lorsque la gravité ramène le projectile au niveau du sol. Cela peut être utilisé pour déterminer le temps de vol, car il dépend entièrement de laoui-mouvement de direction et peut être calculé entièrement sur la base du déplacement vertical (c'est-à-dire le tempstlorsque le déplacement vertical est nul vous indique l'heure du vol).
La trigonométrie dans les problèmes de mouvement des projectiles
Si le problème en question vous donne un angle de lancement et une vitesse initiale, vous devrez utiliser la trigonométrie pour trouver les composantes de vitesse horizontale et verticale. Une fois que vous avez fait cela, vous pouvez utiliser les méthodes décrites dans la section précédente pour résoudre réellement le problème.
Essentiellement, vous créez un triangle rectangle avec l'hypoténuse inclinée à l'angle de lancement (θ) et l'amplitude de la vitesse comme longueur, puis le côté adjacent est la composante horizontale de la vitesse et le côté opposé est la vitesse verticale.
Dessinez le triangle rectangle comme indiqué, et vous verrez que vous trouvez les composants horizontaux et verticaux en utilisant les identités trigonométriques :
\text{cos}\; θ = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}
\text{péché}\; θ = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}
Ceux-ci peuvent donc être réarrangés (et avec le contraire =voui et adjacent =vX, c'est-à-dire la composante de vitesse verticale et les composantes de vitesse horizontale respectivement, et hypoténuse =v0, la vitesse initiale) pour donner :
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
C'est toute la trigonométrie dont vous aurez besoin pour résoudre les problèmes de mouvement des projectiles: brancher l'angle de lancement dans le équation, en utilisant les fonctions sinus et cosinus sur votre calculatrice et en multipliant le résultat par la vitesse initiale du projectile.
Donc, pour prendre un exemple, avec une vitesse initiale de 20 m/s et un angle de lancement de 60 degrés, les composants sont :
\begin{aligned} v_x &= 20 \;\text{m/s} × \cos (60) \\ &= 10 \;\text{m/s} \\ v_y &= 20 \;\text {m /s} × \sin (60) \\ &= 17,32 \;\text{m/s} \end{aligned}
Exemple de problème de mouvement de projectile: un feu d'artifice qui explose
Imaginez qu'un feu d'artifice a une mèche conçue pour qu'il explose au point le plus haut de sa trajectoire, et qu'il soit lancé avec une vitesse initiale de 60 m/s à un angle de 70 degrés par rapport à l'horizontale.
Comment calculeriez-vous quelle hauteurhça explose à? Et quel serait le moment à partir du lancement quand il explosera ?
C'est l'un des nombreux problèmes qui impliquent la hauteur maximale d'un projectile, et l'astuce pour les résoudre est de noter qu'à la hauteur maximale, leoui- la composante de la vitesse est de 0 m/s pendant un instant. En insérant cette valeur pourvoui et en choisissant la plus appropriée des équations cinématiques, vous pouvez facilement résoudre ce problème et tout autre problème similaire.
Tout d'abord, en regardant les équations cinématiques, celle-ci saute aux yeux (avec des indices ajoutés pour montrer que nous travaillons dans le sens vertical) :
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
Cette équation est idéale car vous connaissez déjà l'accélération (uneoui = -g), la vitesse initiale et l'angle de lancement (ainsi vous pouvez calculer la composante verticalevy0). Puisque nous recherchons la valeur desoui (c'est-à-dire la hauteurh) lorsquevoui = 0, nous pouvons substituer zéro à la composante de vitesse verticale finale et réarranger poursoui:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
Puisqu'il est logique d'appeler la direction vers le hautoui, et puisque l'accélération due à la pesanteurgest dirigé vers le bas (c'est-à-dire dans le -ouidirection), nous pouvons changeruneoui pour -g. Enfin, en appelantsoui la hauteurh, nous pouvons écrire:
h = \frac{v_{0y}^2}{2g}
Ainsi, la seule chose que vous devez déterminer pour résoudre le problème est la composante verticale de la vitesse initiale, ce que vous pouvez faire en utilisant l'approche trigonométrique de la section précédente. Donc avec les informations de la question (60 m/s et 70 degrés au lancement horizontal), cela donne :
\begin{aligned} v_{0y} &= 60 \;\text{m/s} × \sin (70) \\ &= 56,38 \;\text{m/s} \end{aligned}
Vous pouvez maintenant résoudre la hauteur maximale :
\begin{aligné} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56.38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9,8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162,19 \text{m} \end{aligned}
Le feu d'artifice va donc exploser à environ 162 mètres du sol.
Poursuite de l'exemple: temps de vol et distance parcourue
Après avoir résolu les bases du problème du mouvement du projectile basé uniquement sur le mouvement vertical, le reste du problème peut être résolu facilement. Tout d'abord, l'heure à partir du lancement à laquelle le fusible explose peut être trouvée en utilisant l'une des autres équations d'accélération constante. En regardant les options, l'expression suivante :
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) t \\
a le tempst, c'est ce que vous voulez savoir; le déplacement, que vous connaissez pour le point maximum du vol; la vitesse verticale initiale; et la vitesse au moment de la hauteur maximale (dont on sait qu'elle est nulle). Donc, sur cette base, l'équation peut être réarrangée pour donner une expression pour le temps de vol :
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
Donc, insérer les valeurs et résoudretdonne :
\begin{aligned} t &= \frac{2 × 162,19 \;\text{m}} {56,38 \; \text{m/s}} \\ &= 5.75 \;\text{s} \end{aligned}
Ainsi, le feu d'artifice explosera 5,75 secondes après le lancement.
Enfin, vous pouvez facilement déterminer la distance horizontale parcourue sur la base de la première équation, qui (dans le sens horizontal) énonce :
v_x = v_{0x} + a_xt
Cependant, notant qu'il n'y a pas d'accélération dans laX-direction, c'est simplement :
v_x = v_{0x}
Cela signifie que la vitesse dans leXla direction est la même tout au long du parcours du feu d'artifice. Étant donné quev = ré/t, oùréest la distance parcourue, il est facile de voir queré = Vermont, et donc dans ce cas (avecsX = ré):
s_x = v_{0x}t
Vous pouvez donc remplacerv0x avec l'expression trigonométrique précédente, saisissez les valeurs et résolvez :
\begin{aligned} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5,75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\text{m} \end{aligned}
Il parcourra donc environ 118 m avant l'explosion.
Problème de mouvement de projectile supplémentaire: le feu d'artifice raté
Pour un problème supplémentaire à travailler, imaginez le feu d'artifice de l'exemple précédent (vitesse initiale de 60 m/s lancée à 70 degrés par rapport à l'horizontale) n'a pas explosé au sommet de sa parabole, et a plutôt atterri sur le sol non explosé. Pouvez-vous calculer le temps total de vol dans ce cas? À quelle distance du site de lancement dans le sens horizontal atterrira-t-il, ou en d'autres termes, quelle est laintervalledu projectile ?
Ce problème fonctionne essentiellement de la même manière, où les composantes verticales de la vitesse et du déplacement sont les principaux éléments que vous devez prendre en compte pour déterminer l'heure du vol, et à partir de là, vous pouvez déterminer le intervalle. Plutôt que d'étudier la solution en détail, vous pouvez la résoudre vous-même en vous basant sur l'exemple précédent.
Il existe des formules pour la portée d'un projectile, que vous pouvez rechercher ou dériver des équations d'accélération constante, mais ce n'est pas le cas. vraiment nécessaire car vous connaissez déjà la hauteur maximale du projectile, et à partir de ce point il est juste en chute libre sous l'effet de la gravité.
Cela signifie que vous pouvez déterminer le temps que prend le feu d'artifice pour retomber au sol, puis l'ajouter au temps de vol à la hauteur maximale pour déterminer le temps de vol total. À partir de là, c'est le même processus d'utilisation de la vitesse constante dans le sens horizontal parallèlement au temps de vol pour déterminer la portée.
Montrez que le temps de vol est de 11,5 secondes et que la portée est de 236 m, en notant que vous devrez calculer la composante verticale de la vitesse au point où elle touche le sol en tant qu'intermédiaire marcher.