UNEvecteurest une quantité qui a à la fois une amplitude et une direction qui lui sont associées. Ceci est différent d'unscalairequantité, qui ne correspond qu'à une grandeur. La vitesse est un exemple de quantité vectorielle. Il a à la fois une magnitude (à quelle vitesse va quelque chose) et une direction (la direction dans laquelle il se déplace.)
Les vecteurs sont souvent dessinés sous forme de flèches. La longueur de la flèche correspond à l'amplitude du vecteur, et la pointe de la flèche indique la direction.
Il existe deux façons de travailler avec l'addition et la soustraction vectorielles. La première est graphiquement, en manipulant les diagrammes fléchés des vecteurs eux-mêmes. La seconde est mathématique, ce qui donne des résultats exacts.
Addition et soustraction de vecteurs graphiques en une dimension
Lors de l'ajout de deux vecteurs, vous placez la queue du deuxième vecteur à la pointe du premier vecteur tout en conservant l'orientation du vecteur. levecteur résultantest un vecteur qui commence à la queue du premier vecteur et pointe en ligne droite vers la pointe du deuxième vecteur.
Par exemple, envisagez d'ajouter des vecteursUNEetBqui pointent dans la même direction le long d'une ligne. Nous les plaçons « tip to tail » et le vecteur résultant,C, pointe dans la même direction et a une longueur qui est la somme des longueurs deUNEetB.
Soustraire des vecteurs dans une dimension revient essentiellement à ajouter, sauf que vous « retournez » le deuxième vecteur. Cela résulte directement du fait que soustraire revient à ajouter un négatif.
Addition et soustraction de vecteurs mathématiques en une dimension
Lorsque vous travaillez dans une dimension, la direction d'un vecteur peut être indiquée par un signe. Nous choisissons une direction comme étant la direction positive (généralement « haut » ou « droite » sont choisis comme positifs), et affectons tout vecteur pointant dans cette direction en tant que quantité positive. Tout vecteur pointant dans la direction négative est une quantité négative. Lorsque vous ajoutez ou soustrayez des vecteurs, ajoutez ou soustrayez leurs grandeurs avec les signes appropriés attachés.
Supposons que dans la section précédente, le vecteurUNEavait une magnitude de 3 et le vecteurBavait une magnitude de 5. Alors vecteur résultantC = A + B =8, un vecteur de magnitude 8 pointant dans la direction positive, et le vecteur résultantré = A - B =-2, un vecteur de magnitude 2 pointant dans le sens négatif. Notez que cela est cohérent avec les résultats graphiques d'avant.
Astuce: Attention à n'ajouter que des vecteurs du même type: vitesse + vitesse, force + force et ainsi de suite. Comme pour toutes les mathématiques en physique, les unités doivent correspondre !
Addition et soustraction de vecteurs graphiques en deux dimensions
Si le premier vecteur et le deuxième vecteur ne sont pas sur la même ligne dans l'espace cartésien, vous pouvez utiliser la même méthode « tip to tail » pour les ajouter ou les soustraire. Pour ajouter deux vecteurs, imaginez simplement soulever le second et placer sa queue à la pointe du premier tout en maintenant son orientation comme indiqué. Le vecteur résultant est une flèche commençant à la queue du premier vecteur et se terminant à la pointe du deuxième vecteur :
Tout comme dans une dimension, soustraire un vecteur d'un autre équivaut à retourner et à ajouter. Graphiquement, cela ressemble à ceci :
•••Dana Chen | Sciences
Remarque: Parfois, l'addition de vecteurs est représentée graphiquement en rassemblant les queues des deux vecteurs d'addition et en créant un parallélogramme. Le vecteur résultant est alors la diagonale de ce parallélogramme.
Addition et soustraction de vecteurs mathématiques en deux dimensions
Pour ajouter et soustraire des vecteurs en deux dimensions mathématiquement, procédez comme suit :
Décomposer chaque vecteur en unX-composante, parfois appelée composante horizontale, et unoui-composante, parfois appelée composante verticale, en utilisant la trigonométrie. (Notez que les composants peuvent être négatifs ou positifs selon la direction dans laquelle pointe le vecteur)
Ajouter leX-composants des deux vecteurs ensemble, puis ajoutez leoui-composants des deux vecteurs ensemble. Ce résultat vous donne laXetouicomposantes du vecteur résultant.
La magnitude du vecteur résultant peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore.
La direction du vecteur résultant peut être trouvée par trigonométrie en utilisant la fonction tangente inverse. Cette direction est généralement donnée comme un angle par rapport au positifX-axe.
Trigonométrie en addition vectorielle
Rappelez-vous les relations entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle de la trigonométrie.
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ theta)=\frac{b}{a}
Théorème de Pythagore:
c^2=a^2+b^2
Le mouvement du projectile fournit des exemples classiques de la façon dont nous pourrions utiliser ces relations à la fois pour décomposer un vecteur et déterminer la magnitude et la direction finales d'un vecteur.
Considérez deux personnes jouant au catch. Supposons qu'on vous dise que la balle est lancée d'une hauteur de 1,3 m avec une vitesse de 16 m/s à un angle de 50 degrés avec l'horizontale. Pour commencer à analyser ce problème, vous devrez décomposer ce vecteur vitesse initial enXetouicomposants comme indiqué :
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (50)=12.3\texte{ m/s}
Si le receveur rate le ballon et qu'il touche le sol, avec quelle vitesse finale va-t-il frapper ?
En utilisant des équations cinématiques, nous sommes en mesure de déterminer que les composantes finales de la vitesse de la balle sont :
v_{xf}=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yf}=-13.3\text{ m/s}
Le théorème de Pythagore permet de trouver la grandeur :
v_{f}=\sqrt{(10,3)^2+ (-13,3)^2}=16.8\text{ m/s}
Et la trigonométrie permet de déterminer l'angle :
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{-13.3}{10.3}\Big)=-52.2\degré
Exemple d'addition et de soustraction de vecteurs
Considérez une voiture tournant au coin de la rue. Supposervjecar la voiture est dans leX-direction avec une magnitude de 10 m/s, etvFest à un angle de 45 degrés avec le positifX-axe de magnitude 10 m/s. Si ce changement de mouvement se produit en 3 secondes, quelle est l'amplitude et la direction de l'accélération de la voiture lorsqu'elle tourne ?
Rappelons que l'accélérationuneest une quantité vectorielle définie comme :
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
OùvFetvjesont respectivement les vitesses finale et initiale (et sont donc aussi des quantités vectorielles).
Pour calculer la différence vectoriellevF - vje,il faut d'abord décomposer les vecteurs vitesse initiale et finale :
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
Ensuite, nous soustrayons la finaleXetouicomposants de la premièreXetouicomposants pour obtenir des composants devF - vje:
Ensuite, nous soustrayons leXetouiComposants:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7.07\texte{m/s}
Divisez ensuite chacun par le temps pour obtenir les composantes du vecteur d'accélération :
a_x=\frac{-2.93}{3}=-0.977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2.36\text{ m/s} ^2
Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver l'amplitude du vecteur d'accélération :
a=\sqrt{(-0,977)^2+(2,36)^2}=2,55\text{ m/s}^2
Enfin, utilisez la trigonométrie pour trouver la direction du vecteur d'accélération :
\theta=\tan^{-1}\Grand(\frac{2.36}{-0,977}\Grand)=113\degré