Comparaison des moments d'inertie pour des objets communs (avec diagrammes)

Les physiciens comparent les moments d'inertie des objets en rotation afin de déterminer ceux qui seront plus difficiles à accélérer ou à ralentir. Cela s'applique aux situations du monde réel, comme déterminer quels objets rouleront le plus rapidement dans une course.

Les facteurs qui modifient le moment d'inertie d'un objet sont sa masse, la façon dont cette masse est répartie - déterminée par sa forme et son rayon - et l'axe de rotation sur lequel il tourne.

Ce diagramme montre les équations du moment d'inertie pour plusieurs formes communes tournant autour de différents axes de rotation.

Voici quelques exemples de problèmes de physique qui nécessitent d'utiliser des moments d'inertie pour comparer divers objets.

1. Lequel des éléments suivants sera le plus facile à faire tourner: une sphère creuse de 7 kg de rayon 0,2 m ou une sphère solide de 10 kg de même rayon ?

Commencez par trouver les moments d'inertie pour chaque objet. D'après le tableau, l'équation d'un

Substitution des masses et des rayons donnés :

​Sphère creuse​: ​I = 2/3 (7 kg) (0,2 m)² =​ ​0.19​ ​kgm²​

​Solide​ ​sphère​: ​I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)² =​ ​0.16​ ​kgm²​ ​
​

Le moment d'inertie estplus petit pour la sphère solide, alors il serale plus simple pour commencer à tourner​.

2. De quelle manière est-il le plus difficile de faire pivoter un crayon: sur sa longueur, autour de son centre ou bout à bout? Supposons que le crayon a une longueur de 10 cm (0,1 m) et un rayon de section transversale de 3 mm (0,003 m).

Dans ce cas, la masse du crayon n'a pas d'importance dans la comparaison puisqu'elle ne change pas.

Pour déterminer quelles équations s'appliquent, approximez la forme d'un crayon comme un cylindre.

Alors, les trois équations de moment d'inertie nécessaires sont :

​Cylindre sur sa longueur(l'axe traverse l'ensemble, de la pointe à la gomme, donc le rayon à l'axe de rotationestson rayon de section transversale) :

​Cylindre autour de son centre(tenu au milieu, donc le rayon de sa rotation estla moitié de sa longueur​):

​Cylindre autour de son extrémité(tenu par la pointe ou la gomme, donc le rayon à l'axe de rotationestsa longueur) :

​Plus le moment d'inertie d'un objet est élevé, plus il est difficile de démarrer (ou d'arrêter) sa rotation.Puisque chaque valeur est multipliée par le mêmem, plus la valeur de la fraction multipliée par r est grande², plus le moment d'inertie sera élevé. Dans ce cas 0,0033333 > 0,0002083 > 0,0000045, c'est doncplus difficile de faire tourner un crayon autour de son extrémitéqu'autour des deux autres axes.

3. Quel objet atteindra le bas d'une rampe en premier s'ils ont tous la même masse et le même rayon et sont tous libérés du haut en même temps: un cerceau, un cylindre ou une sphère solide? Ignorer les frottements.

La clé pour répondre à ce problème est d'appliquer une compréhension deconservation d'énergie. Si tous les objets ont la même masse et commencent à la même hauteur, ils doivent commencer avec la même quantité deénergie potentielle gravitationnelle. C'est leénergie totaledont ils disposent pour se convertir en énergie cinétique et descendre la rampe.

Étant donné que les objets descendront la rampe, ils doivent convertir leur énergie potentielle initiale en deuxénergies cinétiques rotationnelle et linéaire​.

Voici le hic: plus l'objet prend de l'énergie de cette tarte totalecommencer à tourner, moins il en disposera pourmouvement linéaire. Cela signifieplus il est facile de faire rouler un objet, plus il se déplacera rapidement de manière linéaire sur la rampe, remportant la course​.

Ensuite, parce que toutes les masses et tous les rayons sont les mêmes, la simple comparaison des fractions devant chaque équation de moment d'inertie révèle la réponse :

​Sphère solide :​ ​je =2/5m²​

​Cerceau autour d'un axe :​ ​je = monsieur²​

​Cylindre plein sur sa longueur :​ ​je =1/2m²​

Du plus petit au plus grand moment d'inertie, et doncpremier à dernier pour atteindre le fond: sphère, cylindre, cerceau.