Les équations cinématiques décrivent le mouvement d'un objet soumis à une accélération constante. Ces équations relient les variables de temps, de position, de vitesse et d'accélération d'un objet en mouvement, permettant de résoudre n'importe laquelle de ces variables si les autres sont connues.
Vous trouverez ci-dessous une représentation d'un objet soumis à un mouvement d'accélération constant dans une dimension. La variable t est pour le temps, la position est X, rapidité v et accélération une. Les indices je et F représentent respectivement "initial" et "final". Il est entendu que t = 0 à Xje et vje.
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Liste des équations cinématiques
Il existe trois équations cinématiques principales répertoriées ci-dessous qui s'appliquent lorsque vous travaillez dans une dimension. Ces équations sont :
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
Remarques sur les équations cinématiques
- Ces équations ne fonctionnent qu'avec une accélération constante (qui peut être nulle en cas de vitesse constante).
- Selon la source que vous lisez, les quantités finales peuvent ne pas avoir d'indice F, et/ou peut être représenté en notation de fonction comme x (t) - lis "X en fonction du temps » ou «X au moment t" - et v (t). Noter que x (t) ne signifie pas X multiplié par t!
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Parfois la quantité XF - Xje est écrit
x, signifiant « le changement de X, » ou même simplement comme ré, c'est-à-dire déplacement. Tous sont équivalents. La position, la vitesse et l'accélération sont des quantités vectorielles, ce qui signifie qu'elles ont une direction qui leur est associée. Dans une dimension, la direction est généralement indiquée par des signes - les quantités positives sont dans le sens positif et les quantités négatives sont dans le sens négatif. Indices: « 0 » peut être utilisé pour la position initiale et la vitesse au lieu de je. Ce "0" signifie "à t = 0", et X0 et v0 sont généralement prononcés "x-naught" et "v-naught". * Une seule des équations n'inclut pas le temps. Lors de la rédaction des données et de la détermination de l'équation à utiliser, c'est la clé !
Un cas particulier: la chute libre
Le mouvement en chute libre est le mouvement d'un objet accélérant en raison de la gravité seule en l'absence de résistance de l'air. Les mêmes équations cinématiques s'appliquent; cependant, la valeur d'accélération près de la surface de la Terre est connue. L'ampleur de cette accélération est souvent représentée par g, où g = 9,8 m/s2. La direction de cette accélération est descendante, vers la surface de la Terre. (Notez que certaines sources peuvent se rapprocher g comme 10 m/s2, et d'autres peuvent utiliser une valeur précise à plus de deux décimales.)
Stratégie de résolution de problèmes pour les problèmes de cinématique à une dimension :
Dessinez un diagramme de la situation et choisissez un système de coordonnées approprié. (Rappeler que X, v et une sont toutes des quantités vectorielles, donc en attribuant une direction positive claire, il sera plus facile de suivre les signes.)
Écrire une liste de quantités connues. (Attention, parfois les faits connus ne sont pas évidents. Recherchez des expressions comme « commence à partir du repos », ce qui signifie que vje = 0, ou « touche le sol », ce qui signifie que XF = 0, et ainsi de suite.)
Déterminez quelle quantité la question veut que vous trouviez. Quelle est l'inconnue que vous allez résoudre ?
Choisissez l'équation cinématique appropriée. Ce sera l'équation qui contient votre quantité inconnue ainsi que les quantités connues.
Résolvez l'équation de la quantité inconnue, puis insérez les valeurs connues et calculez la réponse finale. (Attention aux unités! Parfois, vous aurez besoin de convertir des unités avant de calculer.)
Exemples de cinématique unidimensionnel
Exemple 1: Une publicité prétend qu'une voiture de sport peut passer de 0 à 60 mph en 2,7 secondes. Quelle est l'accélération de cette voiture en m/s2? Quelle distance parcourt-il pendant ces 2,7 secondes ?
Solution:
(Insérer l'image 2)
Quantités connues et inconnues :
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
La première partie de la question nécessite la résolution de l'accélération inconnue. Ici, nous pouvons utiliser l'équation n°1 :
v_f=v_i+at\implique un =\frac {(v_f-v_i)} t
Avant de brancher des nombres, cependant, nous devons convertir 60 mph en m/s :
60\annuler{\text{ mph}}\Bigg( \frac {0.477\text{ m/s}} {\cancel{\text{mph}}}\Bigg)=26.8\text{ m/s}
L'accélération est donc :
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\underline{\bold{9.93}\text{ m/s}^2}
Afin de trouver jusqu'où cela va dans ce temps, nous pouvons utiliser l'équation n°2 :
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \times 9.93 \times 2.7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
Exemple 2 : Une balle est lancée à une vitesse de 15 m/s d'une hauteur de 1,5 m. À quelle vitesse va-t-il lorsqu'il touche le sol? Combien de temps faut-il pour toucher le sol ?
Solution:
(Insérer l'image 3 )
Quantités connues et inconnues :
x_i=1.5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9.8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
Pour résoudre la première partie, nous pouvons utiliser l'équation #3 :
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\implique v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
Tout est déjà dans des unités cohérentes, nous pouvons donc insérer des valeurs :
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\approx\pm16\text{ m/s}
Il y a ici deux solutions. Laquelle est correcte? D'après notre diagramme, nous pouvons voir que la vitesse finale devrait être négative. Donc la réponse est :
v_f=\underline{\bold{-16}\text{ m/s}}
Pour résoudre le problème du temps, nous pouvons utiliser soit l'équation n°1 soit l'équation n°2. Puisque l'équation n°1 est plus simple à utiliser, nous utiliserons celle-ci :
v_f=v_i+at\implique t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9,8}\approx \underline{\bold{3.2}\text{ s }}
Notez que la réponse à la première partie de cette question n'était pas 0 m/s. S'il est vrai qu'après l'atterrissage, la balle aura une vitesse de 0, cette question veut savoir à quelle vitesse elle va dans cette fraction de seconde avant l'impact. Une fois que la balle entre en contact avec le sol, nos équations cinématiques ne s'appliquent plus car l'accélération ne sera pas constante.
Équations cinématiques pour le mouvement du projectile (deux dimensions)
Un projectile est un objet se déplaçant dans deux dimensions sous l'influence de la gravité terrestre. Sa trajectoire est une parabole car la seule accélération est due à la gravité. Les équations cinématiques pour le mouvement du projectile prennent une forme légèrement différente des équations cinématiques énumérées ci-dessus. Nous utilisons le fait que les composants de mouvement qui sont perpendiculaires les uns aux autres - tels que l'horizontale X direction et la verticale oui direction – sont indépendants.
Stratégie de résolution de problèmes pour les problèmes de cinématique de mouvement de projectile :
Faites un schéma de la situation. Tout comme pour le mouvement unidimensionnel, il est utile d'esquisser le scénario et d'indiquer le système de coordonnées. Au lieu d'utiliser les étiquettes X, v et une pour la position, la vitesse et l'accélération, nous avons besoin d'un moyen d'étiqueter le mouvement dans chaque dimension séparément.
Pour la direction horizontale, il est le plus courant d'utiliser X pour le poste et vX pour la composante x de la vitesse (notez que l'accélération est de 0 dans cette direction, nous n'avons donc pas besoin d'une variable pour cela.) Dans le oui direction, il est le plus courant d'utiliser oui pour le poste et voui pour la composante y de la vitesse. L'accélération peut être étiquetée uneoui ou nous pouvons utiliser le fait que nous savons que l'accélération due à la gravité est g dans la direction y négative, et utilisez-la simplement à la place.
Écrivez une liste de quantités connues et inconnues en divisant le problème en deux sections: mouvement vertical et mouvement horizontal. Utilisez la trigonométrie pour trouver les composantes x et y de toutes les quantités vectorielles qui ne se trouvent pas le long d'un axe. Il peut être utile de les lister en deux colonnes :
(insérer le tableau 1)
Remarque: si la vitesse est donnée comme une amplitude avec un angle, Ѳ, au-dessus de l'horizontale, puis utilisez la décomposition vectorielle, vX= vcos (Ѳ) et voui= vsin (Ѳ).
Nous pouvons considérer nos trois équations cinématiques d'avant et les adapter respectivement aux directions x et y.
Sens X :
x_f=x_i+v_xt
Sens Y :
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (y_f - y_i)
A noter que l'accélération de la oui direction est -g si nous supposons que up est positif. Une idée fausse commune est que g = -9,8 m/s2, mais ceci est incorrect; g elle-même est simplement l'amplitude de l'accélération: g = 9,8 m/s2, il faut donc préciser que l'accélération est négative.
Résolvez une inconnue dans l'une de ces dimensions, puis branchez ce qui est commun dans les deux directions. Alors que le mouvement dans les deux dimensions est indépendant, il se produit sur la même échelle de temps, donc la variable de temps est la même dans les deux dimensions. (Le temps qu'il faut à la balle pour subir son mouvement vertical est le même que le temps qu'il faut pour subir son mouvement horizontal.)
Exemples de cinématique de mouvement de projectile
Exemple 1: Un projectile est lancé horizontalement depuis une falaise d'une hauteur de 20 m avec une vitesse initiale de 50 m/s. Combien de temps faut-il pour toucher le sol? À quelle distance de la base de la falaise atterrit-il ?
(insérer l'image 4)
Quantités connues et inconnues :
(insérer le tableau 2)
Nous pouvons trouver le temps qu'il faut pour toucher le sol en utilisant la deuxième équation du mouvement vertical :
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\implique t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\underline{ \bold{2.02}\text{ s} }
Puis pour trouver où il atterrit, XF, on peut utiliser l'équation du mouvement horizontal :
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\underline{\bold{101}\text{ s}}
Exemple 2 : Une balle est lancée à 100 m/s du sol à un angle de 30 degrés avec l'horizontale. Où atterrit-il? Quand sa vitesse est-elle la plus petite? Quel est son emplacement à ce moment-là ?
(insérer l'image 5)
Quantités connues et inconnues :
Nous devons d'abord décomposer le vecteur vitesse en composants :
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\approx 86.6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ texte{ m/s}
Notre tableau des quantités est alors :
(insérer le tableau 3)
Nous devons d'abord trouver l'heure à laquelle la balle est en vol. Nous pouvons le faire avec la deuxième équation verticale_. Notez que nous utilisons la symétrie de la parabole pour déterminer que le _y final la vitesse est la négative de l'initiale :
Ensuite, nous déterminons jusqu'où il se déplace dans le X direction en ce moment:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 10.2\approx\underline{\bold{883}\text m}
En utilisant la symétrie du chemin parabolique, nous pouvons déterminer que la vitesse est la plus petite à 5,1 s, lorsque le projectile est au sommet de son mouvement et que la composante verticale de la vitesse est 0. Les composantes x et y de son mouvement à ce moment sont :
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 5.1\approx\underline{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9.8 \times 5.1^2\approx \underline{\bold{128}\text{ m}}
Dérivation d'équations cinématiques
Équation #1 : Si l'accélération est constante, alors :
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
En résolvant pour la vitesse, on a :
v_f=v_i+à
Équation #2 : La vitesse moyenne peut s'écrire de deux manières :
v_{moy}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Si on remplace _vF _avec l'expression de l'équation #1, on obtient :
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
Résoudre pour XF donne :
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 à^2
Équation #3: Commencez par résoudre pour t dans l'équation #1
v_f=v_i+at \implique t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
Branchez cette expression pour t dans la relation de vitesse moyenne :
v_{moy}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\implies \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
La réorganisation de cette expression donne :
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
