Oletetaan muutama parametri ennen painopisteen keskustelua. Yksi, että olet tekemisissä kohteen kanssa, joka on maapallon pinnalla, ei avaruudessa jonnekin. Ja kaksi, että esine on kohtuullisen pieni - sanotaan, ei avaruusalus, joka on pysäköity Maan päälle ja odottaa lentoonlähtöä. Kun kaikki nämä maan ulkopuoliset vaikutukset on poistettu, olet hyvässä asemassa laskeaksesi geometristen kohteiden painopiste käyttämällä suhteellisen yksinkertainen kaava - ja itse asiassa juuri asetettujen ehtojen vuoksi painopisteen etsimiseen käytetään samaa kaavaa kuin massan keskipiste.
Kuinka kirjoittaa painopisteestä
Painopistettä kaksiulotteisessa tasossa merkitään yleensä koordinaateilla (xcg, ycg) tai joskus muuttujien avullaxjaybaarin kanssa. Myös termi "painopiste" lyhennetään joskus cg: ksi.
Kuinka laskea kolmion CG
Matematiikan tai fysiikan oppikirjassasi on usein kaavioita tiettyjen lukujen tasapainopisteen määrittämiseksi. Mutta joillekin tavallisille geometrisille muodoille voit käyttää sopivaa painopistekaavaa löytääksesi muodon painopisteen.
Kolmioiden kohdalla painopiste on kohdassa, jossa kaikki kolme mediaania leikkaavat. Jos aloitat kolmion yhdestä kärjestä ja vedät sitten suoran viivan toisen puolen keskipisteeseen, se on yksi mediaani. Tee sama kahdelle muulle kärjelle, ja piste, jossa kaikki kolme mediaania leikkaavat, on kolmion painopiste.
Ja tietysti, siihen on kaava. Jos kolmion painopisteen koordinaatit ovat (xcg, ycg), löydät sen koordinaatit näin:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ teksti {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Missä (x1, y1), (x2, y2) ja (x3, y3) ovat kolmion kolmen kärjen koordinaatit. Voit valita, mikä kärki on määritetty mikä numero.
Suorakulmion painopisteen kaava
Huomasitko, että kolmion painopisteen löytämiseksi keskiarvo vain x-koordinaatit, keskitä sitten y-koordinaattien arvo ja käytä kahta tulosta painopisteen koordinaateina?
Suorakulmion painopisteen löytämiseksi teet täsmälleen saman asian. Oletuksena on, että suorakulmio on suunnattu suorakulmion suuntaisesti, jotta laskentasi olisi entistä helpompaa koordinaattitaso (joten sitä ei ole asetettu kulmaan) ja että sen vasen alempi kärki on kaavio. Tällöin löytää (xcg, ycg) suorakulmion osalta sinun on vain laskettava:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
Jos et halua siirtää suorakulmiota koordinaattitason alkuun tai jos jostain syystä se ei ole suorakulmainen koordinaattiakselit, voit kohdata tämän hieman pelottavamman näköisen, mutta silti tehokkaan kaavan keskiarvon saamiseksi kaikista x-koordinaateistaan arvon löytämiseksi x: stäcg, ja keskiarvo kaikki y-koordinaatit löytääksesi arvon ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ teksti {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Painopisteen yhtälö
Entä jos joudut laskemaan painopisteen muodolle, joka sopii kaikkiin ensin mainittuihin oletuksiin (pohjimmiltaan et yritä tehdä kirjaimellista rakettitiedettä löytämällä avaruudessa olevien esineiden painopiste), mutta se ei kuulu mihinkään juuri mainittuun luokkaan tai kaavioon oppikirja? Sitten voit jakaa muodosi tutumpiin muotoihin ja löytää seuraavien yhtälöiden avulla niiden kollektiivinen painopiste:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ teksti {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Tai toisin sanoen, xcg on yhtä suuri kuin leikkauksen pinta-ala 1 kertaa sen sijainti x-akselilla, lisätään leikkauksen pinta-alaan 2 kertaa sen sijainti ja niin edelleen, kunnes olet lisännyt kaikkien osioiden pinta-ala-aikojen sijainnin; jaa sitten koko määrä kaikkien osioiden kokonaispinta-alalla. Tee sitten sama myös y: lle.
K: Kuinka löydän kunkin osan alueen?Jakamalla monimutkainen tai epäsäännöllinen muoto tutumpiin polygoneihin voit käyttää standardoituja kaavoja alueen löytämiseen. Esimerkiksi, jos olet jakanut muodon suorakulmaisiksi paloiksi, voit etsiä kunkin kappaleen alueen kaavan pituus × leveys avulla.
K: Mikä on kunkin osan "sijainti"?Kunkin osan sijainti on sopiva koordinaatti kyseisen osan painopisteestä. Joten jos haluat y2 (segmentin 2 sijainti), sinun on itse asiassa annettava y-koordinaatti kyseisen segmentin painopisteelle. Jälleen tämän vuoksi jaat oudonmuotoisen objektin tutumpiin muotoihin, koska voit käyttää kaavat, joista on jo keskusteltu kunkin muodon painopisteen löytämiseksi ja sitten sopivan koordinaatin poimiminen s.
K: Missä muotoani menee koordinaattitasolla?Voit valita, missä muoto istuu koordinaattitasolla - pidä vain mielessä, että vastauksesi painopiste on suhteessa samaan vertailupisteeseen. Kohde on helpoin sijoittaa kaavion ensimmäiseen neljännekseen siten, että sen alareuna on x-akselia vasten ja vasen reuna y-akselia vasten niin, että kaikki x- ja y-arvot ovat positiivisia, mutta myös riittävän pieniä ollakseen hallittavissa.
Temppuja painopisteen löytämiseen
Jos olet tekemisissä yhden kohteen kanssa, intuitio ja pieni logiikka ovat joskus kaikki mitä tarvitset sen painopisteen löytämiseksi. Jos esimerkiksi harkitset litteää levyä, painopiste on levyn keskipiste. Sylinterissä se on sylinterin akselin keskipiste. Suorakulmion (tai neliön) kohdalla se on kohta, jossa diagonaaliset viivat yhtyvät.
Olet ehkä huomannut kuvion täällä: Jos kyseisellä esineellä on symmetrinen viiva, painopiste on tällä viivalla. Ja jos sillä on useita symmetria-akseleita, painopiste on siellä, missä nämä akselit leikkaavat.
Lopuksi, jos yrität löytää todella monimutkaisen objektin painopisteen, sinulla on kaksi vaihtoehtoa: joko piiskaa parhaat hammaskiven integraalit (katso Resurssit kolmoisintegraalille, joka edustaa epätasaisen massan painopistettä) tai syötä tietosi tarkoitukseen rakennettuun painopisteeseen laskin. (Katso Resurssit-esimerkki radio-ohjattavien lentokoneiden painopistelaskurista.)