Kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmät piirtämällä

Yhtälöjärjestelmät voivat auttaa ratkaisemaan tosielämän kysymyksiä kaikilla aloilla kemiasta yritystoimintaan urheiluun. Niiden ratkaiseminen ei ole tärkeää vain matematiikkaluokiesi kannalta; se voi säästää paljon aikaa riippumatta siitä, yritätkö asettaa tavoitteita yrityksellesi tai urheilutiimillesi.

TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)

Voit ratkaista yhtälöjärjestelmän piirtämällä piirtämällä kukin viiva samalla koordinaattitasolla ja katsomalla, missä ne leikkaavat.

Kuvittele esimerkiksi, että sinä ja ystäväsi asetat limonaditelineen. Päätät jakaa ja valloittaa, joten ystäväsi menee naapuruston koripallokentälle, kun pysyt perheen kadunkulmassa. Päivän lopussa keräät rahasi. Yhdessä olet ansainnut 200 dollaria, mutta ystäväsi ansaitsi 50 dollaria enemmän kuin sinä. Kuinka paljon rahaa te ansaitsitte?

Tai ajattele koripalloa: 3-pisteviivan ulkopuolella tehdyt laukaukset ovat 3 pistettä, 3-pisteviivan sisällä tehdyt korit 2 pistettä ja vapaaheitot vain 1 pisteen. Vastustajasi on 19 pistettä edelläsi. Mitä yhdistelmiä koreista voisit tehdä saadaksesi kiinni?

Kuvaaja on yksi yksinkertaisimmista tavoista ratkaista yhtälöjärjestelmiä. Sinun tarvitsee vain piirtää molemmat viivat samalla koordinaattitasolla ja nähdä sitten, missä ne leikkaavat.

Ensin sinun on kirjoitettava sanaongelma yhtälöjärjestelmänä. Määritä muuttujat tuntemattomille. Soita ansaitsemallesi rahalleY, ja ystäväsi ansaitsemat rahatF​.

Sinulla on nyt kahdenlaisia ​​tietoja: tietoja siitä, kuinka paljon rahaa ansaitsit yhdessä, ja tietoja siitä, kuinka ansaitsit rahasi verrattuna ystäväsi ansaitsemiin rahoihin. Jokaisesta näistä tulee yhtälö.

Kirjoita ensimmäiselle yhtälölle:

koska rahasi ja ystäväsi rahat ovat yhteensä 200 dollaria.

Kirjoita seuraavaksi yhtälö kuvaamaan tulojesi vertailua.

koska tekemäsi summa on 50 dollaria pienempi kuin ystäväsi. Voit myös kirjoittaa tämän yhtälön muodossaY​ + 50 = ​F, koska ansaitsemasi plus 50 dollaria on sama kuin ystäväsi. Nämä ovat erilaisia ​​tapoja kirjoittaa sama asia, eivätkä ne muuta lopullista vastaustasi.

Joten yhtälöjärjestelmä näyttää tältä:

Seuraavaksi sinun on piirrettävä molemmat yhtälöt samalla koordinaattitasolla. Kuvaa summa,Y,y- akseli ja ystäväsi summa,F,x-akseli (itse asiassa ei ole väliä kumpi on, kunhan merkitset ne oikein). Voit käyttää graafista paperia ja lyijykynää, kädessä pidettävää graafista laskinta tai online-graafista laskinta.

Juuri nyt yksi yhtälö on vakiomuodossa ja yksi kaltevuuden leikkausmuodossa. Se ei välttämättä ole ongelma, mutta johdonmukaisuuden vuoksi saat molemmat yhtälöt kaltevuuskuuntelumuotoon.

Joten muunnetaan ensimmäisessä yhtälössä vakiolomakkeesta kaltevuuden sieppauslomakkeeksi. Se tarkoittaa ratkaisuaY; toisin sanoen saadaYitsestään yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella. Joten vähennäFmolemmilta puolilta:

Muista, että kaltevuuden leikkausmuodossa numero F: n edessä on kaltevuus ja vakio on y-leikkaus.

Ensimmäisen yhtälön piirtämiseksiY​ = −​F+ 200, piirrä piste kohtaan (0, 200) ja etsi sitten kaltevuus lisää pisteitä. Kaltevuus on −1, joten laske yksi yksikkö alas ja yli yksi yksikkö ja piirrä piste. Se luo pisteen kohtaan (1, 199), ja jos toistat prosessin, joka alkaa siitä pisteestä, saat toisen pisteen kohdasta (2, 198). Nämä ovat pieniä liikkeitä suurella viivalla, joten piirrä vielä yksi piste kohtaanx-konsepti varmistaaksesi, että sinulla on asiat kauniisti pitkällä aikavälillä. JosY= 0Fon 200, joten piirrä piste kohtaan (200, 0).

Piirrä toinen yhtälöY​ = ​F- 50, käytä y-leikkausta −50 vetääksesi ensimmäisen pisteen kohtaan (0, −50). Koska kaltevuus on 1, aloita kohdasta (0, −50) ja mene sitten ylöspäin yksi yksikkö ja yli yksi yksikkö. Se asettaa sinut (1, −49). Toista prosessi alkaen (1, −49) ja saat kolmannen pisteen pisteestä (2, −48). Jälleen, varmistaaksesi, että teet asioita siististi pitkiä matkoja, tarkista itsesi vetämällä myösx-siepata. KunY​ = 0, ​Fon 50, joten piirrä myös piste kohtaan (50, 0). Piirrä nämä pisteet yhdistävä siisti viiva.

Katso tarkasti kaaviota nähdäksesi, missä kaksi viivaa leikkaavat. Tämä on ratkaisu, koska ratkaisu yhtälöjärjestelmään on piste (tai pisteet), jotka tekevät molemmista yhtälöistä totta. Kaaviossa tämä näyttää pisteeltä (tai pisteiltä), jossa kaksi viivaa leikkaavat.

Tässä tapauksessa kaksi viivaa leikkaavat kohdassa (125, 75). Joten ratkaisu on, että ystäväsi (x-koordinaatti) ansaitsi 125 dollaria ja sinä (y-koordinaatti) teki 75 dollaria.

Nopea logiikan tarkistus: Onko tällä järkevää? Nämä kaksi arvoa yhdessä lisäävät arvoa 200 ja 125 on 50 enemmän kuin 75. Kuulostaa hyvältä.

Tässä tapauksessa oli kaksi pisteitä, joissa nämä kaksi viivaa ylittivät toisiaan. Kun työskentelet yhtälöjärjestelmien kanssa, on kolme mahdollista tulosta, ja kukin näyttää eri kaaviosta.

• Jos järjestelmällä on yksi ratkaisu, viivat ylittävät yhden pisteen, kuten ne tekivät esimerkissä.
• Jos järjestelmällä ei ole ratkaisuja, linjat eivät koskaan ylitä. Ne ovat yhdensuuntaisia, mikä tarkoittaa algebrallisessa mielessä samaa kaltevuutta.
• Järjestelmällä voi olla myös loputtomia ratkaisuja, mikä tarkoittaa, että "kaksi" linjaa ovat oikeastaan ​​sama viiva. Joten heillä on kaikki yhteiset kohdat, mikä on ääretön määrä ratkaisuja.