Mitä ovat oikeat numerot?

Todelliset luvut ovat kaikki numerolinjan luvut, jotka ulottuvat negatiivisesta äärettömästä nollasta positiiviseen äärettömään. Tämä reaalilukujoukon rakenne ei ole mielivaltainen, vaan pikemminkin tulos laskennassa käytettyjen luonnollisten numeroiden kehityksestä. Luonnollisten lukujen järjestelmässä on useita epäjohdonmukaisuuksia, ja laskelmien monimutkaisuuden myötä numerojärjestelmä laajeni vastaamaan sen rajoituksia. Todellisilla numeroilla laskelmat antavat johdonmukaiset tulokset, ja on olemassa muutamia poikkeuksia tai rajoituksia, kuten läsnä oli numerojärjestelmän primitiivisemmissä versioissa.

TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)

Reaalilukujoukko koostuu kaikista numerorivin numeroista. Tämä sisältää luonnolliset luvut, kokonaisluvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut ja irrationaaliluvut. Se ei sisällä kuvitteellisia lukuja tai kompleksilukuja.

Sulkeminen on numerojoukon ominaisuus, mikä tarkoittaa, että jos sallitut laskelmat tehdään joukolle kuuluville numeroille, vastaukset ovat myös joukon jäseniä. Sarjan sanotaan olevan suljettu.

Luonnolliset luvut ovat laskemisnumeroita 1, 2, 3..., eikä luonnollisten numeroiden joukko ole suljettu. Koska kaupassa käytettiin luonnollisia lukuja, syntyi heti kaksi ongelmaa. Luonnollisissa luvuissa laskettiin todellisia esineitä, esimerkiksi lehmiä, jos viljelijällä oli viisi lehmää ja hän myi viisi lehmää, tulokselle ei ollut luonnollista lukua. Varhaiset numerojärjestelmät kehittivät nopeasti nollan termin tämän ongelman ratkaisemiseksi. Tuloksena oli kokonaislukujärjestelmä, joka on luonnolliset luvut plus nolla.

Toinen ongelma liittyi myös vähennykseen. Niin kauan kuin numerot laskivat todellisia esineitä, kuten lehmiä, viljelijä ei voinut myydä enemmän lehmiä kuin hänellä oli. Mutta kun luvuista tuli abstrakteja, suurempien lukujen vähentäminen pienemmistä antoi vastauksia kokonaislukujärjestelmän ulkopuolella. Tämän seurauksena otettiin käyttöön kokonaisluvut, jotka ovat kokonaislukuja plus negatiiviset luonnolliset luvut. Numerojärjestelmään sisältyi nyt täydellinen numerorivi, mutta vain kokonaislukuilla.

Suljetun lukujärjestelmän laskelmien tulisi antaa vastauksia numerojärjestelmälle - operaatiot, kuten summaus ja kertolasku, mutta myös niiden käänteisoperaatiot, vähennyslasku ja jako. Kokonaislukujen järjestelmä on suljettu yhteenlaskemista, vähentämistä ja kertomista varten, mutta ei jakamista varten. Jos kokonaisluku jaetaan toisella kokonaisluvulla, tulos ei ole aina kokonaisluku.

Pienen kokonaisluvun jakaminen suuremmalla antaa murto-osan. Tällaiset jakeet lisättiin numerojärjestelmään rationaalilukuina. Rationaaliluvut määritellään mihin tahansa lukuun, joka voidaan ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena. Mikä tahansa mielivaltainen desimaaliluku voidaan ilmaista rationaaliluvuna. Esimerkiksi 2.864 on 2864/1000 ja 0.89632 on 89632 / 100.000. Numerorivi näytti nyt olevan täydellinen.

Numerorivillä on numeroita, joita ei voida ilmaista kokonaislukujen murto-osina. Yksi on suorakulmaisen kolmion sivujen suhde hypotenuusiin. Jos suorakulmaisen kolmion kaksi sivua ovat 1 ja 1, hypotenuusi on neliön juuri 2. Kahden neliöjuuri on ääretön desimaali, joka ei toistu. Tällaisia ​​lukuja kutsutaan irrationaalisiksi, ja ne sisältävät kaikki reaaliluvut, jotka eivät ole järkeviä. Tällä määritelmällä kaikkien reaalilukujen numerorivi on täydellinen, koska mikä tahansa muu reaaliluku, joka ei ole järkevä, sisältyy irrationaalisen määritelmään.

Vaikka todellisen lukulinjan sanotaan ulottuvan negatiivisesta positiiviseen äärettömään, äärettömyys itsessään ei ole a reaaliluku, vaan pikemminkin numerojärjestelmän käsite, joka määrittelee sen suuremmaksi kuin mikään muu määrä. Matemaattisesti ääretön on vastaus 1 / x: ään, kun x saavuttaa nollan, mutta jakamista nollalla ei ole määritelty. Jos ääretön olisi luku, se johtaisi ristiriitoihin, koska ääretön ei noudata aritmeettisia lakeja. Esimerkiksi ääretön plus 1 on edelleen ääretön.

Reaalilukujoukko on suljettu yhteenlaskemista, vähentämistä, kertomista ja jakoa lukuun ottamatta jakamista nollalla, jota ei ole määritelty. Laitetta ei ole suljettu ainakin yhden muun toiminnan yhteydessä.

Reaalilukujoukon kertolasäännöt tarkoittavat, että negatiivisen ja a: n kertolasku positiivinen luku antaa negatiivisen luvun, kun taas positiivisten tai negatiivisten lukujen kertolasku antaa positiivisen vastauksia. Tämä tarkoittaa, että erityistapa, jossa luku kerrotaan itsestään, tuottaa positiivisen luvun sekä positiivisille että negatiivisille luvuille. Tämän erikoistapauksen käänteinen muoto on positiivisen luvun neliöjuuri, mikä antaa sekä positiivisen että negatiivisen vastauksen. Negatiivisen luvun neliöjuurelle ei ole vastausta reaalilukujoukossa.

Kuvitteellisten lukujen joukon käsite käsittelee reaalilukujen negatiivisten neliöjuurien kysymystä. Miinuksen 1 neliöjuuri määritellään i: ksi ja kaikki kuvitteelliset luvut ovat i: n kerrannaisia. Numeroteorian täydentämiseksi kompleksilukujoukko määritellään sisältävän kaikki reaaliluvut ja kaikki kuvitteelliset luvut. Reaalilukuja voidaan edelleen visualisoida vaakasuoralla numerolinjalla, kun taas kuvitteelliset luvut ovat pystysuora numerolinja, jolloin kaksi leikkaavat nollalla. Kompleksiluvut ovat pisteitä kahden numerolinjan tasossa, joista jokaisella on todellinen ja kuvitteellinen komponentti.