Reaalilukujoukko koostuu kaikista numerorivin numeroista. Alaryhmiin voi sisältyä mikä tahansa numerokokoelma, mutta tärkeän osajoukon elementeillä tulisi olla ainakin useita yhteisiä piirteitä. Suurin osa näistä osajoukoista on hyödyllinen vain tietyissä laskelmissa, mutta muutamilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia ja jotka auttavat ymmärtämään todellisen numerojärjestelmän toimintaa.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Reaalilukujoukon tärkeimmät osajoukot sisältävät rationaaliluvut ja irrationaaliluvut. Rationaalilukujoukko voidaan jakaa muihin osajoukkoihin, mukaan lukien luonnolliset numerot, kokonaisluvut ja kokonaisluvut. Muita reaalilukujen alajoukkoja ovat parilliset ja parittomat luvut, alkuluvut ja täydelliset luvut. Kokonaisuudessaan reaalilukujen joukkoa on ääretön määrä.
Reaalilukuosajoukot yleensä
Kaikille sarjoille, jotka sisältävät määrän n elementtiä, osajoukkojen lukumäärä on 2n. Reaalilukujoukolla on ääretön määrä elementtejä, ja siksi vastaava 2: n eksponentti on myös ääretön, mikä antaa loputtoman määrän osajoukkoja.
Monia näistä osajoukoista voidaan käyttää reaalilukujärjestelmän kanssa työskenneltäessä ja laskelmien aikana, mutta ne ovat hyödyllisiä vain tiettyihin tarkoituksiin. Esimerkiksi useiden ystävien pizzojen hinnan laskemisessa voi olla kiinnostavaa vain numeroiden osajoukko kymmenestä sadaan. Ulkolämpömittari voi näyttää vain lämpötilojen osajoukon miinus 40 - plus 120 astetta Fahrenheit-astetta. Tällaisten osajoukkojen kanssa työskenteleminen on hyödyllistä, koska kaikki odotetun osajoukon ulkopuolella olevat tulokset ovat todennäköisesti väärät.
Reaalilukujen yleisemmät osajoukot luokittelevat numerot ominaisuuksiensa mukaan, ja näillä osajoukoilla on tästä johtuen ainutlaatuiset ominaisuudet. Reaalilukujärjestelmä on kehittynyt laskemisessa käytetyistä alajoukoista, kuten luonnollisista numeroista, ja tällaiset osajoukot muodostavat perustan algebran ymmärtämiselle.
Alajoukot, jotka muodostavat todelliset numerot
Reaalilukujoukko koostuu järkevistä ja irrationaaleista luvuista. Rationaaliluvut ovat kokonaislukuja ja numeroita, jotka voidaan ilmaista murto-osina. Kaikki muut reaaliluvut ovat irrationaalisia, ja ne sisältävät lukuja, kuten neliöjuuri 2 ja luku pi. Koska irrationaaliset luvut määritellään reaalilukujen osajoukoksi, kaikkien irrationaalisten numeroiden on oltava reaalilukuja.
Rationaaliluvut voidaan jakaa muihin osajoukoihin. Luonnolliset luvut ovat lukuja, joita on käytetty historiallisesti laskennassa, ja ne ovat sekvenssi 1, 2, 3 jne. Kokonaiset luvut ovat luonnollisia lukuja plus nolla. Kokonaisluvut ovat kokonaislukuja plus negatiiviset luonnolliset luvut.
Muut rationaalilukujen alaryhmät sisältävät sellaisia käsitteitä kuin parillinen, pariton, alkuluku ja täydellinen luku. Parilliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden tekijä on 2; parittomat luvut ovat kaikki muut kokonaisluvut. Pääluvut ovat kokonaislukuja, joissa tekijöinä on vain itse ja 1. Täydelliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden tekijät lisäävät luvun. Pienin täydellinen luku on 6 ja sen kertoimet 1, 2 ja 3 ovat yhteensä 6.
Yleensä reaaliluvuilla suoritetut laskelmat antavat vastauksia reaalilukuihin, mutta on olemassa poikkeus. Ei ole reaalilukua, joka kerrotaan itsestään, antaa negatiivisen reaaliluvun vastauksena. Tämän seurauksena negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri ei voi olla reaaliluku. Negatiivisten reaalilukujen neliöjuuria kutsutaan kuvitteellisiksi luvuiksi, ja ne ovat reaaliluvuista täysin erillisten numeroiden osia.
Reaalilukujen osajoukkojen tutkimus on osa numeroteoriaa, ja se luokittelee numerot helpottaakseen numeroteorian toiminnan ymmärtämistä. Reaalilukujoukkojen ja niiden ominaisuuksien tunteminen on hyvä perusta matemaattisille jatkotutkimuksille.