Algebraan liittyy usein lausekkeiden yksinkertaistamista, mutta jotkut lausekkeet ovat hämmentävämpiä käsitellä kuin toiset. Kompleksiluvut sisältävät määrän, joka tunnetaan nimelläi, "kuvitteellinen" numero ominaisuuden kanssai= √−1. Jos joudut yksinkertaisesti lausekkeeseen, johon sisältyy kompleksiluku, se saattaa tuntua pelottavalta, mutta se on melko yksinkertainen prosessi, kun olet oppinut perussäännöt.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Yksinkertaista kompleksilukuja noudattamalla algebran ja kompleksilukujen sääntöjä.
Mikä on kompleksiluku?
Kompleksiluvut määritellään sisällyttämällä niihinitermi, joka on neliöjuuri miinus yksi. Perustason matematiikassa negatiivisten lukujen neliöjuuria ei oikeastaan ole, mutta ne näkyvät toisinaan algebraongelmissa. Kompleksiluvun yleinen muoto osoittaa niiden rakenteen:
z = a + bi
Missäzmerkitsee kompleksiluvun,aedustaa mitä tahansa numeroa (kutsutaan "todelliseksi" osaksi) jabedustaa toista lukua (kutsutaan ”kuvitteelliseksi” osaksi), jotka molemmat voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Joten esimerkki kompleksiluvusta on:
z = 2-4i
Koska kaikki negatiivisten lukujen neliöjuuret voidaan esittää kerrallai, tämä on lomake kaikille kompleksiluvuille. Teknisesti säännöllinen numero kuvaa vain kompleksiluvun erityistapausta missäb= 0, joten kaikkia lukuja voidaan pitää monimutkaisina.
Perussäännöt algebralle, jossa on monimutkaiset numerot
Jos haluat lisätä ja vähentää kompleksilukuja, lisää tai vähennä todelliset ja kuvitteelliset osat erikseen. Joten kompleksiluvuillez = 2 – 4ijaw = 3 + 5i, summa on:
\ aloita {tasattu} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {tasattu}
Numeroiden vähentäminen toimii samalla tavalla:
\ alku {tasattu} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 - 9i \ loppu {tasattu }
Kertolasku on toinen yksinkertainen operaatio monimutkaisilla numeroilla, koska se toimii kuten tavallinen kertolasku, paitsi että sinun on muistettava sei2 = −1. Joten laskea 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Mutta siitä lähtieni2= −1, sitten:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Täydellisillä kompleksiluvuilla (käyttäenz = 2 – 4ijaw = 3 + 5iuudelleen), kerrot ne samalla tavalla kuin tavallisilla numeroilla kuten (a + b) (c + d) käyttäen menetelmää ”ensimmäinen, sisempi, ulompi, viimeinen” (FOIL),a + b) (c + d) = ac + bc + ilmoitus + bd. Ainoa, mitä sinun on muistettava, on yksinkertaistaa kaikkia esiintymiäi2. Joten esimerkiksi:
\ aloita {kohdistettu} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ loppu {tasattu}
Monimutkaisten numeroiden jakaminen
Kompleksilukujen jakamiseen sisältyy murto-osan osoittaja ja nimittäjä kertomalla nimittäjän kompleksikonjugaatilla. Kompleksikonjugaatti tarkoittaa vain kompleksiluvun versiota kuvitteellisen osan kanssa käänteisenä merkkinä. Jotenz = 2 – 4i, monimutkainen konjugaattiz = 2 + 4ijaw = 3 + 5i, w = 3 −5i. Ongelma:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Tarvittava konjugaatti onw*. Jaa osoittaja ja nimittäjä tällä saadaksesi:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2-4i) (3-5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Ja sitten työskentelet läpi kuten edellisessä osassa. Osoittaja antaa:
\ alku {tasattu} (2 -4i) (3 -5i) & = 6-12- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ loppu {tasattu}
Ja nimittäjä antaa:
\ alku {tasattu} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ loppu {tasattu}
Tämä tarkoittaa:
\ begin {tasattu} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ loppu {tasattu}
Monimutkaisten numeroiden yksinkertaistaminen
Käytä yllä olevia sääntöjä tarpeen mukaan yksinkertaistaaksesi monimutkaisia lausekkeita. Esimerkiksi:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Tätä voidaan yksinkertaistaa käyttämällä laskurin lisäyssääntöä, nimittäjän kertolasääntöä ja suorittamalla sitten jakaminen loppuun. Osoittaja:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Nimittäjä:
\ alku {tasattu} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4-2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ loppu {tasattu}
Näiden asettaminen takaisin paikalleen antaa:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Molempien osien kertominen nimittäjän konjugaatilla johtaa:
\ aloita {tasattu} z & = \ frac {(6 + i) (2-6i)} {(2 + 6i) (2-6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {tasattu}
Joten tämä tarkoittaazyksinkertaistuu seuraavasti:
\ begin {tasattu} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ loppu {tasattu}