Klassisen mekaniikan ja kvanttimekaniikan ero on valtava. Vaikka klassisessa mekaniikassa hiukkasilla ja esineillä on selvästi määritellyt paikat, kvanttimekaniikassa (ennen mittausta) a hiukkasella voidaan sanoa olevan vain joukko mahdollisia paikkoja, jotka aalto kuvaa todennäköisyyksien suhteen toiminto.
Schrodinger-yhtälö määrittelee kvanttimekaanisten järjestelmien aaltofunktion, ja sen käytön ja tulkinnan oppiminen on tärkeä osa mitä tahansa kvanttimekaniikan kurssia. Yksi yksinkertaisimmista esimerkkeistä tämän yhtälön ratkaisusta on laatikossa oleva hiukkanen.
Aaltotoiminto
Kvanttimekaniikassa hiukkasia edustaa aaaltotoiminto. Tämä on yleensä merkitty kreikkalaisella kirjaimella psi (Ψ) ja se riippuu sekä sijainnista että ajasta, ja se sisältää kaiken mitä hiukkasesta voidaan tietää.
Tämän funktion moduuli neliö kertoo todennäköisyyden, että hiukkanen löytyy paikastaxAjallaantedellyttäen, että toiminto on "normalisoitu". Tämä tarkoittaa vain säätöä niin, että se löytyy varmasti osoitteesta
jonkin verranasentoonxtällä hetkellätkun tulokset kussakin paikassa lasketaan yhteen, eli normalisointiehto sanoo, että:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Aaltofunktion avulla voit laskea odotuksen arvon hiukkasen sijainnista kerrallaant, jossa odotusarvo tarkoittaa vain keskimääräistä arvoa, jolta saisitxjos toistat mittauksen useita kertoja. Tämä ei tietenkään tarkoita, että se olisi tulos, jonka saisit tietystä mittauksesta - toisin sanoentehokkaastisatunnaisia, vaikka jotkin sijainnit ovat yleensä huomattavasti todennäköisempiä kuin toiset.
On olemassa monia muita määriä, joille voit laskea odotusarvot, kuten liikemäärä ja energia-arvot sekä monia muita "havaittavia".
Schrodingerin yhtälö
Schrodinger-yhtälö on differentiaaliyhtälö, jota käytetään aaltofunktion arvon ja partikkelien energian ominaisolojen löytämiseen. Yhtälö voidaan johtaa energiansäästöstä ja hiukkasen kineettisen ja potentiaalisen energian lausekkeista. Yksinkertaisin tapa kirjoittaa se on:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ osittainen} {\ osittainen t}
Mutta täälläHedustaaHamiltonin operaattori, joka itsessään on melko pitkä ilmaisu:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ osittainen ^ 2} {\ osittainen x ^ 2} + V (x)
Tässä,mon massa, ℏ on Planckin vakio jaettuna 2π: lla jaV (x) on järjestelmän potentiaalisen energian yleinen toiminto. Hamiltonilaisella on kaksi erillistä osaa - ensimmäinen termi on järjestelmän kineettinen energia ja toinen termi on potentiaalinen energia.
Jokainen havaittavissa oleva kvanttimekaniikan arvo liittyy operaattoriin, ja Schrodinger-yhtälön ajasta riippumattomassa versiossa Hamiltonin energiaoperaattori. Edellä kuvatussa aikariippuvassa versiossa Hamiltonin syntyy kuitenkin myös aaltofunktion aikakehitys.
Yhdistämällä kaikki yhtälön sisältämät tiedot voit kuvata hiukkasen evoluution avaruudessa ja ajassa ja ennustaa myös sille mahdolliset energia-arvot.
Aikariippumaton Schrodinger-yhtälö
Aikariippuvainen yhtälön osa voidaan poistaa - kuvaamaan tilannetta, joka ei erityisesti kehity ajan myötä - erottamalla aaltofunktio avaruus- ja aikaosiksi:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Aikariippuvat osat voidaan sitten peruuttaa yhtälöstä, mikä jättää Schrodinger-yhtälön aikariippumattoman version:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eon järjestelmän energia. Tällä on ominaisarvoyhtälön tarkka muoto muodossaΨ(x) on ominaisfunktio jaEon ominaisarvo, minkä vuoksi ajasta riippumatonta yhtälöä kutsutaan usein kvanttimekaanisen järjestelmän energian ominaisarvoyhtälöksi. Aikafunktion antaa yksinkertaisesti:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Aikariippumaton yhtälö on hyödyllinen, koska se yksinkertaistaa laskelmia monissa tilanteissa, joissa ajan kehitys ei ole erityisen tärkeää. Tämä on hyödyllisin muoto "hiukkaset laatikossa" -ongelmille ja jopa atomien ympärillä olevien elektronien energiatasojen määrittämiseksi.
Hiukkanen laatikossa (ääretön aukko)
Yksi yksinkertaisimmista ratkaisuista ajasta riippumattomalle Schrodinger-yhtälölle on hiukkaselle äärettömän syvä neliökuoppa (ts. ääretön potentiaalikaivo) tai yksiulotteinen pohjalevy pituusL. Nämä ovat tietysti teoreettisia idealisointeja, mutta se antaa perusajatuksen siitä, miten ratkaiset Schrodinger-yhtälön ottamatta huomioon monia luonnossa esiintyviä komplikaatioita.
Kun potentiaalienergia asetetaan arvoon 0 kaivon ulkopuolella, jossa todennäköisyystiheys on myös 0, Schrodingerin yhtälöstä tälle tilanteelle tulee:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Ja yleinen ratkaisu tämän muodon yhtälölle on:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Rajaolosuhteiden tarkastelu voi kuitenkin auttaa supistamaan tätä. Silläx= 0 jax= L, ts. Laatikon sivut tai kaivon seinät, aaltofunktion on mentävä nollaan. Kosinifunktion arvo on 1, kun argumentti on 0, joten vakio on, jotta rajaedellytykset täyttyvätBon oltava nolla. Tämä jättää:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Voit asettaa arvon myös rajaehdoillak. Koska syn-funktio menee nollaan arvoissanπ, missä kvanttilukun= 0, 1, 2, 3… ja niin edelleen, tämä tarkoittaa milloinx = L, yhtälö toimii vain, josk = nπ / L. Lopuksi voit käyttää sitä, että aaltofunktio on normalisoitava arvon löytämiseksiA(integroi kaikki mahdollisetxarvot, ts. 0 -Lja aseta sitten tulos 1: ksi ja järjestä uudelleen) saadaksesi lopullisen lausekkeen:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Alkuperäisen yhtälön ja tämän tuloksen avulla voit sitten ratkaistaE, joka tuottaa:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Huomaa, että tosiasia, ettäntarkoittaa tässä ilmaisussa sitä, että energiatasot ovatkvantitoitu, joten he eivät voi ottaaminkä tahansaarvo, mutta vain erillinen joukko erityisiä energiatason arvoja hiukkasen massasta ja laatikon pituudesta riippuen.
Hiukkanen laatikossa (äärellinen neliön kaivo)
Sama ongelma monimutkaistuu, jos potentiaalikaivon seinämän korkeus on rajallinen. Esimerkiksi, jos potentiaaliaV (x) ottaa arvonV0 potentiaalikaivon ulkopuolella ja 0 sen sisällä aaltofunktio voidaan määrittää kolmella pääalueella, joita ongelma kattaa. Tämä on kuitenkin enemmän mukana oleva prosessi, joten täällä voit nähdä vain tulokset sen sijaan, että suoritat koko prosessin.
Jos kaivo onx= 0 -x = Ljälleen alueelle, jossax<0 ratkaisu on:
Ψ (x) = Ole ^ {kx}
Alueellex > L, se on:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Missä
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Kaivon sisäpuolelle, jossa 0 <x < L, yleinen ratkaisu on:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Missä
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Voit sitten käyttää rajaehtoja vakioiden arvojen määrittämiseenA, B, CjaD.huomauttamalla, että aallofunktion ja sen ensimmäisen johdannaisen on oltava kaivon seinämillä määriteltyjen arvojen lisäksi jatkuvia kaikkialla ja aaltofunktion on oltava äärellisiä kaikkialla.
Muissa tapauksissa, kuten matalat laatikot, kapeat laatikot ja monet muut erityistilanteet, voit löytää likiarvoja ja erilaisia ratkaisuja.