Sähkömagneettisuuden salaisuuksien ratkaiseminen on ollut yksi fysiikan tähän mennessä suurimmista saavutuksista, ja saadut opit on koteloitu täysin Maxwellin yhtälöihin.
James Clerk Maxwell antaa nimensä näille neljälle tyylikkäälle yhtälölle, mutta ne ovat monien fyysikkojen vuosikymmenien työn huipentuma, mukaan lukien Michael Faraday, Andre-Marie Ampere ja Carl Friedrich Gauss - jotka antavat nimensä kolmelle neljästä yhtälöstä - ja monet toiset. Vaikka Maxwell itse lisäsi termin vain yhteen neljästä yhtälöstä, hänellä oli ennakointia ja ymmärrystä kerää parhaat aihepiiristä tehdyt työt ja esitä ne tavalla, jota edelleen käytetään fyysikot tänään.
Monien vuosien ajan fyysikot uskoivat, että sähkö ja magnetismi olivat erillisiä voimia ja erillisiä ilmiöitä. Faradayn kaltaisten ihmisten kokeellisen työn kautta kävi kuitenkin yhä selvemmäksi, että he olivat itse asiassa kaksi puolta sama ilmiö, ja Maxwellin yhtälöt esittävät tämän yhtenäisen kuvan, joka on edelleen yhtä pätevä tänään kuin se oli 1800-luvulla vuosisadalla. Jos aiot opiskella fysiikkaa korkeammalla tasolla, sinun on ehdottomasti tiedettävä Maxwellin yhtälöt ja miten niitä käytetään.
Maxwellin yhtälöt
Maxwellin yhtälöt ovat seuraavat, sekä differentiaalimuodossa että integraalimuodossa. (Huomaa, että vaikka differentiaaliyhtälöiden tuntemisesta on apua tässä, käsitteellinen ymmärtäminen on mahdollista myös ilman sitä.)
Gaussin sähkölaki
Tasausmuoto:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Kiinteä muoto:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Ei monopolilakia / Gaussin lakia magnetismista
Tasausmuoto:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Kiinteä muoto:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradayn induktiolaki
Tasausmuoto:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Kiinteä muoto:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwellin laki / Amperen laki
Tasausmuoto:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Kiinteä muoto:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Maxwellin yhtälöissä käytetyt symbolit
Maxwellin yhtälöissä käytetään melko laajaa symbolivalikoimaa, ja on tärkeää, että ymmärrät, mitä nämä tarkoittavat, jos aiot oppia käyttämään niitä. Joten tässä on käytettyjen symbolien merkitykset:
B= magneettikenttä
E= sähkökenttä
ρ= sähkövarauksen tiheys
ε0= vapaan tilan läpäisevyys = 8,854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= kokonaissähkövaraus (positiivisten ja negatiivisten varausten nettosumma)
𝜙B = magneettivuo
J= virtatiheys
Minä= sähkövirta
c= valon nopeus = 2,998 × 108 neiti
μ0 = vapaan tilan läpäisevyys = 4π × 10−7 N / A2
Lisäksi on tärkeää tietää, että ∇ on del-operaattori, piste kahden suureen välillä (X ∙ Y) näyttää skalaarisen tuloksen, lihavoitu kertolasku kahden suureen välillä on vektoritulo (X × Y), että del-operaattoria, jolla on piste, kutsutaan "divergenssiksi" (esim. ∇ ∙ X= eroX= divX) ja del-operaattoria, jolla on skalaarinen tuote, kutsutaan käpristymäksi (esim. ∇× Y= käyräY= kiharaY). LopuksiAd: ssäAtarkoittaa suljetun pinnan pinta-alaa, jolle lasket (joskus kirjoitetaan d: näS), jasd: ssäson hyvin pieni osa avoimen pinnan rajaa, jolle lasket (vaikka tämä on joskus dl, viitaten äärettömän pieneen viivakomponenttiin).
Yhtälöiden johtaminen
Maxwellin yhtälöiden ensimmäinen yhtälö on Gaussin laki, ja siinä todetaan, että a: n läpi kulkeva nettovirta suljettu pinta on yhtä suuri kuin muodon sisällä oleva kokonaisvaraus jaettuna vapaan läpäisevyydellä tilaa. Tämä laki voidaan johtaa Coulombin laista, kun se on ottanut tärkeän askeleen ilmaisemaan Coulombin lakia sähkökentän ja sen vaikutuksen testivaraukseen.
Toinen Maxwellin yhtälöistä vastaa olennaisesti väitettä, jonka mukaan "magneettisia monopoleja ei ole". Se toteaa että suljetun pinnan läpi kulkeva nettomagneettivuo on aina 0, koska magneettikentät ovat aina a: n tulosta dipoli. Laki voidaan johtaa Biot-Savart-laista, joka kuvaa nykyisen elementin tuottaman magneettikentän.
Kolmas yhtälö - Faradayn induktiolaki - kuvaa, kuinka muuttuva magneettikenttä tuottaa jännitteen johtimen tai johtimen silmukassa. Se oli alun perin saatu kokeesta. Ottaen kuitenkin huomioon tulos, että muuttuva magneettivuo indusoi sähkömoottorin voiman (EMF tai jännite) ja siten sähkövirran lankasilmukka ja se, että EMF määritellään piirin ympärillä olevan sähkökentän linjan integraaliksi, laki on helppo laittaa yhdessä.
Neljäs ja viimeinen yhtälö, Amperen laki (tai Ampere-Maxwell-laki, joka antaa hänelle kunnian hänen omastaan osuus) kuvaa kuinka magneettikenttä syntyy liikkuvasta varauksesta tai muuttuvasta sähköstä ala. Laki on tulosta kokeilusta (ja niin - kuten kaikkia Maxwellin yhtälöitä - ei oikeastaan "johdettu" perinteisessä mielessä), mutta käyttäenStokesin lauseon tärkeä askel saada perustulos nykyiseen muotoon.
Esimerkkejä Maxwellin yhtälöistä: Gaussin laki
Ollakseni rehellinen, varsinkin jos et ole aivan vektorilaskennassasi, Maxwellin yhtälöt näyttävät melko pelottavilta huolimatta siitä, kuinka suhteellisen pienet ne kaikki ovat. Paras tapa ymmärtää ne on käydä läpi joitain esimerkkejä niiden käytöstä käytännössä, ja Gaussin laki on paras paikka aloittaa. Gaussin laki on pohjimmiltaan perustavanlaatuisempi yhtälö, joka tekee Coulombin lain tehtävän, ja se onkin melko helppo johtaa siitä Coulombin laki ottamalla huomioon pisteen tuottama sähkökenttä veloittaa.
Maksun soittaminenq, avainkohta Gaussin lain soveltamisessa on oikean "pinnan" valinta läpi kulkevan sähkövirran tutkimiseen. Tässä tapauksessa pallo toimii hyvin, jonka pinta-ala onA = 4πr2, koska voit keskittää pallon pistevaraukseen. Tästä on valtava etu tällaisten ongelmien ratkaisemiseen, koska silloin sinun ei tarvitse integroida vaihtelevaa kenttää pinnan yli; kenttä on symmetrinen pistepanoksen ympärillä, joten se on vakio pallon pinnan poikki. Joten kiinteä muoto:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Voidaan ilmaista seuraavasti:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Huomaa, ettäEsillä sähkökenttä on korvattu yksinkertaisella suuruudella, koska pistevarauksen kenttä yksinkertaisesti leviää tasaisesti kaikkiin suuntiin lähteestä. Nyt jakamalla pallon pinta-alalla saadaan:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Koska voima liittyy sähkökenttäänE = F/q, missäqon testilataus,F = qE, ja niin:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Jos tilaukset on lisätty näiden kahden maksun erottamiseksi. Tämä on Coulombin vakiomuotoinen laki, jonka osoitetaan olevan yksinkertainen seuraus Gaussin laista.
Esimerkkejä Maxwellin yhtälöistä: Faradayn laki
Faradayn lain mukaan voit laskea sähkömoottorin voiman muuttuvasta magneettikentästä johtuvassa lankasilmukassa. Yksinkertainen esimerkki on langan silmukka, jonka säde onr= 20 cm magneettikentässä, jonka suuruus kasvaaBi = 1 T -Bf = 10 T of: n avaruudessat= 5 s - mikä on indusoitu EMF tässä tapauksessa? Lain kiinteään muotoon liittyy muutos:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
joka määritellään seuraavasti:
ϕ = BA \ cos (θ)
Tärkein osa ongelmasta on vuon muutosnopeuden löytäminen, mutta koska ongelma on melko yksinkertainen, voit korvata osittaisen johdannaisen yksinkertaisella "muutoksella" jokaisessa määrässä. Ja integraali tarkoittaa oikeastaan vain sähkömoottoria, joten voit kirjoittaa Faradayn induktiolain seuraavasti:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Jos oletetaan, että lankasilmukan normaali linja on magneettikentän kanssa,θ= 0 ° ja niin cos (θ) = 1. Tämä jättää:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Sitten ongelma voidaan ratkaista etsimällä ero alkuperäisen ja lopullisen magneettikentän ja silmukan pinta-alan välillä seuraavasti:
\ begin {tasattu} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {tasattu}
Tämä on vain pieni jännite, mutta Faradayn lakia sovelletaan samalla tavalla riippumatta.
Esimerkkejä Maxwellin yhtälöistä: Ampere-Maxwell Law
Ampere-Maxwell-laki on viimeinen Maxwellin yhtälöistä, jota sinun on sovellettava säännöllisesti. Yhtälö palaa Amperen lakiin muuttuvan sähkökentän puuttuessa, joten tämä on helpoin esimerkki. Voit käyttää sitä johdamaan yhtälö magneettikentälle, joka johtuu suorasta johdosta, joka kuljettaa virtaaMinä, ja tämä perusesimerkki riittää osoittamaan, kuinka yhtälöä käytetään. Koko laki on:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Mutta ilman sähkökentän muuttumista se vähenee:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Nyt, kuten Gaussin laissa, jos valitset pinnalle ympyrän, joka on keskitetty lankasilmukkaan, intuitio ehdottaa, että tuloksena oleva magneettikenttä on symmetrinen, joten voit korvata integraalin yksinkertaisella silmukan kehän ja magneettikentän voimakkuuden tulolla, lähtö:
B × 2πr = μ_0 I
Jakaminen 2π: llärantaa:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Mikä on hyväksytty ilmaisu magneettikentälle etäisyydellärjohtuvat suorasta johdosta, joka kuljettaa virtaa.
Elektromagneettiset aallot
Kun Maxwell kootti yhtälöjoukkonsa, hän alkoi löytää niihin ratkaisuja selittämään erilaisia reaalimaailman ilmiöt, ja sen valoon antama näkemys on yksi tärkeimmistä tuloksista saatu.
Koska muuttuva sähkökenttä tuottaa magneettikentän (Amperen lain mukaan) ja muuttuvan magneettikentän sähkökentän (Faradayn lain mukaan) Maxwell selvitti, että itsestään etenevä sähkömagneettinen aalto saattaa olla mahdollista. Hän käytti yhtälöitään aaltoyhtälön löytämiseen, joka kuvailisi tällaista aaltoa, ja päätti, että se kulkisi valon nopeudella. Tämä oli eräänlainen ”eureka” -hetki; hän tajusi, että valo on eräänlainen sähkömagneettinen säteily, joka toimii aivan kuin hänen kuvittelemansa kenttä!
Sähkömagneettinen aalto koostuu sähkökenttä-aallosta ja edestakaisin värähtelevästä magneettikenttäaallosta, jotka on kohdistettu suorassa kulmassa toisiinsa nähden. Aallon sähköosan värähtely tuottaa magneettikentän, ja tämän osan värähtely puolestaan tuottaa sähkökentän uudelleen, jatkuvasti ja jatkuvasti, kun se kulkee avaruuden läpi.
Kuten kaikilla muillakin aalloilla, sähkömagneettisella aallolla on taajuus ja aallonpituus, ja niiden tulo on ainac, valon nopeus. Sähkömagneettiset aallot ovat kaikkialla ympärillämme, ja näkyvän valon lisäksi muita aallonpituuksia kutsutaan yleisesti radioaalloiksi, mikroaaloiksi, infrapuna-, ultravioletti-, röntgensäteiksi ja gammasäteiksi. Kaikilla näillä sähkömagneettisen säteilyn muodoilla on sama perusmuoto kuin Maxwellin yhtälöt selittävät, mutta niiden energiat vaihtelevat taajuuden mukaan (ts. Suurempi taajuus tarkoittaa suurempaa energiaa).
Joten fyysikkona Maxwell sanoi: "Olkoon valoa!"