Joskus on tarpeen löytää nollavektori, joka kerrottuna neliömäisellä matriisilla antaa meille takaisin vektorin moninkertaisen. Tätä nollavektoria kutsutaan "ominaisvektoriksi". Ominaisvektorit eivät kiinnosta vain matemaatikkoja, vaan myös muita fysiikan ja tekniikan aloilla. Niiden laskemiseksi sinun on ymmärrettävä matriisialgebra ja determinantit.
Opi ja ymmärrä "ominaisvektorin" määritelmä. Se löytyy n x n neliömatriisista A ja myös a: sta skalaarinen ominaisarvo nimeltä "lambda". Lambdaa edustaa kreikkalainen kirjain, mutta tässä lyhennetään sitä L. Jos on nollavektori x, jossa Ax = Lx, tätä vektoria x kutsutaan "A: n ominaisarvoksi".
Etsi matriisin ominaisarvot käyttämällä ominaisyhtälöä det (A - LI) = 0. "Det" tarkoittaa determinanttia ja "I" on identiteettimatriisi.
Laske ominaisvektori kullekin ominaisarvolle etsimällä omatila E (L), joka on ominaisyhtälön nollatila. E: n (L) ei-nollavektorit ovat A: n ominaisvektorit. Nämä löydetään kytkemällä ominaisvektorit takaisin ominaismatriisiin ja löytämällä A - LI = 0: n perusta.
Laske ominaisarvot ominaisuusyhtälön avulla. Det (A - LI) on (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, mikä on tyypillinen polynomi. Tämän ratkaiseminen algebrallisesti antaa meille L1 = 4 ja L2 = 2, jotka ovat matriisimme ominaisarvot.
Etsi ominaisvektori arvolle L = 4 laskemalla tyhjätila. Tee tämä sijoittamalla L1 = 4 ominaismatriisiin ja etsimällä A - 4I = 0: n perusta. Tämän ratkaisemalla löydetään x - y = 0 tai x = y. Tällä on vain yksi riippumaton ratkaisu, koska ne ovat samat, kuten x = y = 1. Siksi v1 = (1,1) on ominaisvektori, joka ulottuu L1 = 4: n avaruuteen.
Toista vaihe 6 löytääksesi ominaisvektorin L2 = 2: lle. Löydämme x + y = 0 tai x = --y. Tällä on myös yksi riippumaton ratkaisu, sanotaan x = --1 ja y = 1. Siksi v2 = (--1,1) on ominaisvektori, joka ulottuu L2 = 2: n omavaruuteen.