Kuinka laskea yhdistelmät ja permutaatiot

Oletetaan, että sinulla on n tyyppistä kohdetta ja haluat valita kokoelman niistä r. Saatamme haluta nämä tuotteet tietyssä järjestyksessä. Kutsumme näitä alkioiden sarjoja permutaatioiksi. Jos järjestyksellä ei ole väliä, kutsumme kokoelmajoukkoja. Sekä yhdistelmiä että permutaatioita varten voit harkita tapausta, jossa valitset joitain n tyypistä enemmän kuin kerran, jota kutsutaan toistolla, tai tapaus, jossa valitset kunkin tyypin vain kerran, jota kutsutaan ei kertaus'. Tavoitteena on pystyä laskemaan yhdistelmien tai permutaatioiden määrä tietyssä tilanteessa.

Factorial-funktiota käytetään usein yhdistelmien ja permutaatioiden laskennassa. N! tarkoittaa N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Esimerkiksi 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Tuotesarjan tilaustapojen lukumäärä on tosiasia. Ota kolme kirjainta a, b ja c. Sinulla on kolme vaihtoehtoa ensimmäiselle kirjaimelle, kaksi toiselle ja vain yksi kolmannelle. Toisin sanoen yhteensä 3 × 2 × 1 = 6 tilausta. Yleensä on n! tapoja tilata n tuotetta.

Oletetaan, että sinulla on kolme huonetta, jotka aiot maalata, ja jokainen niistä maalataan yhdellä viidestä väristä: punainen (r), vihreä (g), sininen (b), keltainen (y) tai oranssi (o). Voit valita jokaisen värin niin monta kertaa kuin haluat. Sinulla on viisi väriä, joista voit valita ensimmäisen huoneen, viisi toisen ja viisi kolmannen. Tämä antaa yhteensä 5 × 5 × 5 = 125 mahdollisuutta. Yleensä, kuinka monta tapaa valita r-ryhmän ryhmä tietyssä järjestyksessä n toistettavasta vaihtoehdosta on n ^ r.

Oletetaan nyt, että jokaisesta huoneesta tulee erivärinen. Voit valita viidestä väristä ensimmäiseen huoneeseen, neljä toiseen ja vain kolme kolmanteen. Tämä antaa 5 × 4 × 3 = 60, joka sattuu olemaan 5! / 2!. Yleensä riippumattomien tapojen määrä valita r kohteita tietyssä järjestyksessä n toistumattomasta valinnasta on n! / (N – r) !.

Seuraavaksi unohda mikä huone on mikä väri. Valitse vain kolme erillistä väriä värimallille. Järjestyksellä ei ole merkitystä tässä, joten (punainen, vihreä, sininen) on sama kuin (punainen, sininen, vihreä). Kaikille kolmen värin valinnoille on 3! tapoja, joilla voit tilata ne. Joten pienennät permutaatioiden määrää kolmella! saadaksesi 5! / (2! × 3!) = 10. Yleensä voit valita r-ryhmän ryhmän missä tahansa järjestyksessä n toistamattoman valinnan joukosta n! / [(N – r)! × r!] -Tekniikalla.

Lopuksi sinun on luotava värimaailma, jossa voit käyttää mitä tahansa väriä niin monta kertaa kuin haluat. Älykäs kirjanpitokoodi auttaa tätä laskentatehtävää. Käytä kolmea X: tä edustamaan huoneita. Väriluetteloa edustaa 'rgbyo'. Sekoita X: t väriluetteloon ja yhdistä kukin X ensimmäiseen väriin sen vasemmalla puolella. Esimerkiksi rgXXbyXo tarkoittaa, että ensimmäinen huone on vihreä, toinen on vihreä ja kolmas on keltainen. X: ssä on oltava vähintään yksi väri vasemmalla, joten ensimmäiselle X: lle on käytettävissä viisi paikkaa. Koska luettelossa on nyt X, toiselle X on saatavana kuusi paikkaa ja kolmannelle X seitsemän. Kaiken kaikkiaan on 5 × 6 × 7 = 7! / 4! tapoja kirjoittaa koodi. Huoneiden järjestys on kuitenkin mielivaltainen, joten ainutlaatuisia järjestelyjä on oikeastaan ​​vain 7! / (4! × 3!). Yleensä voit valita r kohdetta missä tahansa järjestyksessä n toistettavasta vaihtoehdosta (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] -Menetelmillä.