Sinus- ja kosini-käsitteiden hallinta on olennainen osa trigonometriaa. Mutta kun nämä ideat ovat vyösi alla, niistä tulee rakennuspalikoita muille trigonometrian hyödyllisille työkaluille ja myöhemmin laskelmille. Esimerkiksi "kosinien laki" on erityinen kaava, jonka avulla voit löytää kolmion puuttuvan puolen, jos tiedät kahden muun sivun pituus plus niiden välinen kulma tai löytää kolmion kulmat, kun tiedät kaikki kolme sivuilla.
Kosiniksen laki
Kosinusten lakia on useita versioita, riippuen siitä, mitä kolmiota kulmat tai sivut ovat tekemisissä:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Joka tapauksessa,a, bjacovat kolmion sivut jaA, BtaiCon saman kirjaimen sivua vastapäätä oleva kulma. NiinAon kulma vastakkaisella puolellaa, Bon kulma vastakkaisella puolellabjaCon kulma vastakkaisella puolellac. Tämä on kaavan muoto, jota käytät, jos löydät yhden kolmion sivuista pituuden.
Kosinusten laki voidaan myös kirjoittaa uudelleen versioina, jotka helpottavat minkä tahansa kolmion kolmesta kulmasta löytämistä, olettaen, että tiedät kaikkien kolmion sivujen pituudet:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Puolen ratkaiseminen
Kosiniksen lain käyttämiseksi kolmiota varten tarvitaan kolme tietoa: kolmion kahden muun sivun pituudet plus niiden välinen kulma. Valitse kaavan versio, jossa haluamasi puoli on yhtälön vasemmalla puolella ja jo sinulla olevat tiedot ovat oikealla. Joten jos haluat löytää sivun pituudena, haluat käyttää versiota
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Korvaa kahden tunnetun puolen ja niiden välisen kulman arvot kaavaan. Jos kolmiossasi on tunnetut sivutbjacettä mitataan 5 yksikköä ja 6 yksikköä, ja niiden välinen kulma on 60 astetta (mikä voidaan myös ilmaista radiaaneina π / 3), sinulla olisi:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Etsi taulukon tai laskimen avulla kosinin arvo. tässä tapauksessa cos (60) = 0,5, jolloin saat yhtälön:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Yksinkertaista vaiheen 2 tulosta. Tämä antaa sinulle:
a ^ 2 = 25 + 36-30
Mikä puolestaan yksinkertaistaa:
a ^ 2 = 31
Viimeistele ratkaisu ottamalla molempien puolien neliöjuuria. Tämä jättää sinulle:
a = \ sqrt {31}
Vaikka voit käyttää kaaviota tai laskinta arvioidaksesi arvon √31 (se on 5.568), sinulla usein annetaan - ja jopa kannustetaan - jättää vastaus tarkemmassa radikaalisessa muodossa.
Kulman ratkaiseminen
Voit käyttää samaa prosessia minkä tahansa kolmion kulman löytämiseen, jos tunnet sen kaikki kolme sivua. Tällä kertaa valitset kaavan version, joka asettaa puuttuvan tai "en tiedä" -kulman yhtäläisyysmerkin vasemmalle puolelle. Kuvittele, että haluat löytää kulman C mitan (joka on määritelty vastakkaiseksi kulmaksi)c). Käytät tätä kaavan versiota:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Korvaa tunnetut arvot - tämän tyyppisessä tehtävässä se tarkoittaa kaikkien kolmiopuolen pituuksien pituuksia - yhtälöön. Olkoon esimerkiksi kolmion sivuta= 3 yksikköä,b= 4 yksikköä jac= 25 yksikköä. Joten yhtälöstä tulee:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Kun yksinkertaistat tuloksena olevaa yhtälöä, sinulla on:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
tai yksinkertaisesti cos (C) = 0.
Laske käänteinen kosini tai kaaren kosini kosinosta 0, usein merkitty cos: ksi-1(0). Tai toisin sanoen, minkä kulman kosini on 0? On todella kaksi kulmaa, jotka palauttavat tämän arvon: 90 astetta ja 270 astetta. Mutta määritelmän mukaan tiedät, että jokaisen kolmion kulman on oltava alle 180 astetta, joten vaihtoehdoksi jää vain 90 astetta.
Joten puuttuvan kulman mitta on 90 astetta, mikä tarkoittaa, että olet tekemisissä suorakulmion kanssa, vaikka tämä menetelmä toimii myös muiden kuin suorakulmioiden kanssa.