Ympyrät ovat kaikkialla todellisessa maailmassa, minkä vuoksi niiden säteet, halkaisijat ja ympärysmitta ovat merkittäviä tosielämän sovelluksissa. Mutta on myös muita ympyrän osia - esimerkiksi sektoreita ja kulmia -, joilla on merkitystä myös jokapäiväisissä sovelluksissa. Esimerkkejä ovat pyöreiden ruokien, kuten kakkujen ja piirakoiden, sektorikoot, maailmanpyörällä kuljettu kulma, renkaan mitoitus tiettyyn ajoneuvoon ja erityisesti renkaan mitoitus kytkemistä varten häät. Näistä ja muista syistä geometrialla on myös yhtälöitä ja ongelmalaskelmia, jotka käsittelevät ympyrän keskikulmia, kaaria ja sektoreita.
Mikä on keskuskulma?
Keskuskulma määritellään kulmaksi, joka syntyy kahdesta ympyrän keskustasta säteilevästä säteestä tai säteestä, jolloin ympyrän keskipiste on keskikulman kärki. Keskuskulmat ovat erityisen tärkeitä, kun on kyse pizzan tai muun pyöreän ruoan tasaisesta jakamisesta tietyn määrän ihmisten kesken. Sano, että viiden ihmisen seurassa on iso pizza ja iso kakku. Mikä on kulma, johon sekä pizza että kakku on jaettava, jotta taataan tasainen siivu kaikille? Koska ympyrässä on 360 astetta, laskennasta tulee 360 astetta jaettuna 5: llä, jolloin saavutetaan 72 astetta, niin, että jokaisella viipaleella, riippumatta siitä, onko pizza tai kakku, keskikulma tai teeta (θ), jonka mitat ovat 72 astetta.
Keskuskulman määrittäminen kaaren pituudesta
Ympyrän kaari viittaa ympyrän kehän "osaan". Kaaren pituus on siis kyseisen “osan” pituus. Jos kuvitelet pizzalohkon, sektorialue voi olla visualisoidaan koko pizzaviipaleeksi, mutta kaaren pituus on kuoren ulkoreunan pituus tietty siivu. Kaaren pituudesta voidaan laskea keskikulma. Yksi kaava, joka voi auttaa määrittämään keskikulman, toteaa, että kaaren pituus (s) on yhtä suuri kuin säde kertaa keskikulma, tai
s = r × θ
missä kulma, teeta, on mitattava radiaaneina. Joten keskuskulman, theta, ratkaisemiseksi on vain jaettava kaaren pituus säteellä tai
\ frac {s} {r} = θ
Havainnollistamiseksi, jos valokaaren pituus on 5,9 ja säde 3,5329, keskuskulmasta tulee 1,67 radiaania. Toinen esimerkki on, jos kaaren pituus on 2 ja säde on 2, keskikulmasta tulee 1 radiaani. Jos haluat muuntaa radiaanit asteiksi, muista, että yksi radiaani on 180 astetta jaettuna π: llä tai 57,2958 astetta. Vastaavasti, jos yhtälö pyytää muuntamaan astetta takaisin radiaaneiksi, kerro se ensin π: llä ja jaa sitten 180 asteella.
Keskuskulman määrittäminen sektorialueelta
Toinen hyödyllinen kaava keskikulman määrittämiseksi on sektorialue, joka voidaan jälleen visualisoida pizzan siivuna. Tämä kaava voidaan nähdä kahdella tavalla. Ensimmäisellä on keskikulma mitattuna asteina siten, että sektori-alue on π-kertainen säde-neliö ja kerrotaan sitten keskikulman määrällä asteina jaettuna 360: llä astetta. Toisin sanoen:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {keskikulma asteina}} {360 \ text {astetta}} = \ text {sektorialue}
Jos keskikulma mitataan radiaaneina, kaavasta tulee sen sijaan:
\ text {sektorialue} = r ^ 2 × \ frac {\ text {keskikulma radiaaneina}} {2}
Kaavojen uudelleenjärjestely auttaa ratkaisemaan keskikulman eli teetan arvon. Tarkastellaan sektorialuetta 52,3 neliösenttimetriä ja säde 10 senttimetriä. Mikä olisi sen keskikulma asteina? Laskelmat aloitettaisiin siten, että sektorin pinta-ala 52,3 neliösenttimetriä olisi yhtä suuri kuin:
\ frac {θ} {360 \ teksti {astetta}} × πr ^ 2
Koska säde (r) on yhtä suuri kuin 10, koko yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\ frac {52,3} {100π} × 360
jotta teeta voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\ frac {52,3} {314} × 360
Näin lopullisesta vastauksesta tulee 60 asteen keskikulma.