Tuntemattoman eksponentin määrittäminen

Jos näet lausekkeet 3² ja 5³, voit ilmoittaa kukoistuksella, että nämä tarkoittavat "kolme neliötä" ja "viisi kuutioitua" ja pystyvät etsimään vastaavia lukuja ilman eksponentit, numerot, joita yläindeksit edustavat oikeassa yläkulmassa. Nämä luvut ovat tässä tapauksessa 9 ja 125.

Mutta entä jos sanotun yksinkertaisen eksponenttifunktion, kuten y = x, sijaan ³, sinun on sen sijaan ratkaistava yhtälö kuten y = 3^x. Tässä x, riippuva muuttuja, esiintyy eksponenttina. Onko olemassa tapa vetää muuttuja alas ahvenelta käsittelemään sitä helpommin matemaattisesti?

Itse asiassa on olemassa vastaus eksponenttien luonnollisessa täydennyksessä, jotka ovat hauskoja ja hyödyllisiä määriä, jotka tunnetaan nimellä logaritmit.

An eksponentti, jota kutsutaan myös a teho, on pakattu tapa ilmaista lukujen toistuvia kertoja itsessään. 4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.

• Mikä tahansa numero, joka on nostettu 1: n asteeksi, pitää saman arvon; mikä tahansa luku, jonka eksponentti on 0, on yhtä suuri kuin 1. Esimerkiksi 72¹ = 72; 72⁰ = 1.

Eksponentit voivat olla negatiivisia ja luoda suhdetta x⁻ⁿ= 1 / (xⁿ). Ne voidaan myös ilmaista murtoina, esim. 2^(5/3). Jos ilmaistaan ​​murto-osina, sekä osoittajan että nimittäjän on oltava kokonaislukuja.

Logaritmeja tai "lokeja" voidaan pitää eksponentteina, jotka ilmaistaan ​​muuna kuin voimana. Se ei todennäköisesti auta paljon, joten ehkä esimerkki tai kaksi.

Ilmaisussa 10³ = 1,000, luku 10 on pohja, ja sitä nostetaan kolmanneksi voimaksi (tai voima kolme). Voit ilmaista tämän seuraavasti: "Kolmanteen tehoon nostettu 10: n arvo on 1 000."

Esimerkki logaritmista on Hirsi₁₀(1,000) = 3. Huomaa, että luvut ja niiden suhteet toisiinsa ovat samat kuin edellisessä esimerkissä, mutta niitä on siirretty ympäriinsä. Sanalla tämä tarkoittaa, että "tukkikanta 10 1 000 on yhtä suuri kuin 3".

Oikealla oleva määrä on voima, johon 10: n perusta on nostettava, jotta se olisi yhtä suuri Perustelutai lokin syöttö, sulkeissa oleva arvo (tässä tapauksessa 1 000). Tämän arvon on oltava positiivinen, koska perusta - joka voi olla muu luku kuin 10, mutta jonka oletetaan olevan 10 jätettäessä pois, esim. "Log 4" - on myös aina positiivinen.

Joten miten voit työskennellä helposti lokien ja eksponenttien välillä? Muutama lokien käyttäytymistä koskeva sääntö voi aloittaa eksponenttiongelmat.

Yllä olevien tietojen avulla olet valmis yrittämään ratkaisemaan yhtälön eksponentin.

Esimerkki: Jos 50 = 4^x, mikä on x?

Jos viet lokin kummankin sivun pohjaan 10 ja jätät alustan nimenomaisen tunnistamisen pois, tästä tulee loki 50 = loki 4^x. Yllä olevasta ruudusta tiedät lokin 4^x = x log 4. Tämä jättää sinut

log 50 = x log 4 tai x = (log 50) / (log 4).

Laskimen tai valitsemasi elektronisen laitteen avulla löydät ratkaisun (1,689 / 0,602) = 2.82.

Samoja sääntöjä sovelletaan, kun tukikohta on e, niin kutsuttu luonnollinen logaritmi, jonka arvo on noin 2,7183. Sinulla pitäisi olla painike tätä varten myös laskimessasi. Tämä arvo saa myös oman merkintänsä: log_ex kirjoitetaan yksinkertaisesti "ln x".

• Funktio y = e^x i, jossa e ei ole muuttuja, vaan vakio tällä arvolla, on ainoa funktio, jonka kaltevuus on sama kuin sen oma korkeus kaikille x: lle ja y: lle.
  
• Aivan kuten loki₁₀10^x = x, e^x = x kaikille x: lle.

Esimerkki: Ratkaise yhtälö 16 = e^2,7x.

Kuten edellä, ln 16 = ln e^2,7x = 2,7x.

ln 16 = 2,77 = 2,7x, joten x = 2/77 / 2,7 = 1.03.